オイラーの公式

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オイラーの公式の図形的な表現。グラフは横軸が実数軸、縦軸が虚数軸の複素平面であり、φ は複素数 e の偏角である。

数学、特に複素解析におけるオイラーの公式(オイラーのこうしき、: Euler's formula)とは、指数関数三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。

e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.

ここで e· は指数関数、i虚数単位cos(·), sin(·) はそれぞれ余弦関数および正弦関数である[注 1]θ実数なら、θ複素数 e がなす複素平面上の偏角に対応する。

公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラーに因むが、最初の発見者はロジャー・コーツとされる。コーツは1714年に今日オイラーの公式と呼ばれる等式を発表したが、その証明は曖昧なものだった。その後オイラーによって1748年に再発見され、有名になった。

この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [1][2]だと述べている。

オイラーの公式は、変数 θ が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 θ に対応する余弦関数 cos と正弦関数 sin に等しいことを表す。このとき、偏角 θパラメータとする曲線 e は、複素平面上の単位円をなす。 特に、θ = π のとき(すなわち偏角が 180 度のとき)、

e^{i\pi}=-1

となる。この関係はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる[注 2]

θ が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。

オイラーの公式は、三角関数 cos θ, sin θ双曲線関数 cosh(), sinh()/i に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式フーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。

指数関数と三角関数[編集]

実関数として定義される指数関数 ex および三角関数 cos x, sin x をそれぞれマクローリン展開すれば、

e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x
\cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x
\sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x

なる冪級数としての表示を得る。これらの式の右辺に現れる級数は、x が複素平面上を動く複素変数と見た場合にも、任意の x の近傍で広義一様に絶対収束する。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数・三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。ここで exxix を代入すれば、絶対収束性によって和の順序交換が正当化され、級数の項の順番を任意に入れ替えても同じ値に収束するため

e^{ix} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^n}{n!} x^n =\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(ix)^{2n}}{(2n)!} +\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}
=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}

が成立する。右辺の初項は cos x のマクローリン展開、次項は sin x のマクローリン展開に i を乗じたものである。
したがって

e^{ix} = \cos x + i\sin x

が得られる。
この公式は、全く起源の異なる指数関数三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。たとえば三角関数の加法定理は、指数法則 eaeb = ea+b に対応していることが分かる。
さらに

\cos z=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2},
\sin z =\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}

と置き換えることで、三角関数は全て指数関数の一部であると見なすこともできる。

証明[編集]

この公式には、上記のマクローリン展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの証明を挙げる。

微分による証明[編集]

関数の微分を用いた証明を示す。実変数 x の関数 f (x) を次のように定義する。

f(x)=(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix}.

 

 

 

 

(1)

f (x) の微分は以下のようになる。


\begin{align}
f'(x)&= (\cos x-i\sin x)'\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot (e^{ix})' \qquad \mbox{(Leibniz's rule)} \\
     &= (-\sin x-i\cos x)\cdot e^{ix} +(\cos x-i\sin x)\cdot ie^{ix} \\
     &= \left\{(-\sin x-i\cos x) +(i\cos x + \sin x)\right\}\cdot e^{ix} \qquad (i^2 = -1)\\
     &= 0
\end{align}

したがって、すべての実数 x について f' (x) = 0 が成り立つ。これは f (x)定数関数であることと同値である。よって f (x) = f (0) より、

f(x)=(\cos 0-i\sin 0)\cdot e^{i\cdot 0}=1

 

 

 

 

(2)

となる。(2)(1) に代入すると次のようになる。

(\cos x-i\sin x)\cdot e^{ix} =1.

 

 

 

 

(3)

ここで (3) の両辺に、左辺の eix の係数の複素共役 (cos x + i sin x) を掛ければ、三角関数に関するピタゴラスの定理 sin2x + cos2x = 1 よりオイラーの公式が得られる[3]

e^{ix} =\cos x+i\sin x.

微分方程式による証明[編集]

微分方程式を用いた証明を示す。x を実数、x の関数 f (x) を以下のように定義する。

f(x) = \cos x + i\sin x.

また記法を簡潔にするために補助的な方程式

y = f(x)

によって y を定める。これらをまとめると以下の方程式を得る。

y = \cos x+ i\sin x.

 

 

 

 

(1)

(1)x = 0 を代入すると

y = \cos 0 + i\sin 0 = 1

 

 

 

 

(2)

を得る。(1) の両辺を x について微分し、両辺に虚数単位 i を掛けると以下のようになる。

i\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} 
= \underbrace{-i\sin x}_{\frac{\mathrm{d}\cos x}{\mathrm{d}x} = -\sin x} 
- \underbrace{\cos x}_{\frac{\mathrm{d}\sin x}{\mathrm{d}x} = \cos x}

 

 

 

 

(3)

(3)(1) より

\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} =iy

 

 

 

 

(4)

を得る[注 3](4) は、右辺の係数が実であれば、実数の指数関数の解析学的な定義に他ならない。すなわち、任意の 0 でない複素数 α について、関数 eαx は次の関係を満たす。

\frac{\mathrm d}{\mathrm{d}(\alpha x)}e^{\alpha x} = e^{\alpha x}.

 

 

 

 

(5)

(4)(5) を見比べ、α = i と置き換えれば、

y=e^{ix}

 

 

 

 

(6)

が成り立つ。最後に (1) および (6) から y を消去すればオイラーの公式が得られる。

e^{ix} = \cos x + i\sin x.

2階線型微分方程式による証明[編集]

2階線型微分方程式を用いた証明を示す。実数 x を変数とする関数

\begin{cases}
\displaystyle y = e^{ix} \\
\displaystyle y = \cos x \\
\displaystyle y = \sin x
\end{cases}

 

 

 

 

(1)

はいずれも以下の2階の線型常微分方程式の解である。

\frac{\mathrm{d}^2y}{{\mathrm{d}x}^2} + y = 0.

 

 

 

 

(2)

(2) は斉次な方程式なので、一般解は基本解の線型結合として表すことができる。 cos xsin x(2) の基本解なので、 (1) および (2) より

e^{ix} = C_1 \cos x + C_2 \sin x

 

 

 

 

(3)

が成立する。また、(3) の両辺を微分したものは

ie^{ix}=-C_1\sin x + C_2 \cos x

 

 

 

 

(4)

となる。(3), (4)x = 0 を代入したものはそれぞれ、

\begin{align}
1 = C_1\\
i = C_2
\end{align}

 

 

 

 

(5)

となるので[注 4](5) より (3) の線型結合はオイラーの公式を与える[4]

e^{ix} = \cos x + i\sin x.

ロンスキー行列による証明[編集]

ロンスキー行列式を用いた証明を示す。線型微分方程式の解の独立性は、解の組が成すロンスキー行列のディターミナント、すなわちロンスキー行列式によって決定される。微分方程式の解の組が得られたとして、それらの成すロンスキー行列式が 0 になり、かつそれらから解を 1 つ取り除いた場合のロンスキー行列式がいずれも 0 でないなら、元の解の組は線型従属であり、すなわち解のいずれかは他の解の線型結合で表すことができる。この性質を利用して、指数関数 eix が三角関数 cos x および sin x の線型結合に書き換えられることを導く。 cos xsin xeix のロンスキー行列 W

W=\begin{pmatrix}
\cos x & \sin x & e^{ix}\\
\left(\cos x\right)' & \left(\sin x\right)' & \left(e^{ix}\right)'\\
\left(\cos x\right)'' & \left(\sin x\right)'' & \left(e^{ix}\right)''
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\cos x & \sin x & e^{ix}\\
-\sin x & \cos x & ie^{ix}\\
-\cos x & -\sin x & -e^{ix}
\end{pmatrix}

 

 

 

 

(1)

となる。(1) のロンスキー行列式

|W|=\begin{vmatrix}
  \cos x & \sin x & e^{ix}\\
  -\sin x & \cos x & ie^{ix}\\
  -\cos x & -\sin x & -e^{ix}
\end{vmatrix}
=\begin{vmatrix}
  0 & 0 & 0\\
  -\sin x & \cos x & ie^{ix}\\
  -\cos x & -\sin x & -e^{ix}
\end{vmatrix} = 0

 

 

 

 

(2)

を計算すると、cos x, sin x, eix のいずれも微分方程式 y'' + y = 0 の解であるから、(2) のロンスキー行列式の第 1 行に第 3 行を足せば、第 1 行は 0 にすることができる。行列のいずれかの行または列がゼロベクトルなら、その行列式は 0 になるので、3 つの解が成すロンスキー行列式が 0 になることが示せた。

次に 2 つの解の組のロンスキー行列式がいずれも 0 でないことを示す。cos x, sin x について、

\begin{vmatrix}
\cos x & \sin x\\
-\sin x & \cos x
\end{vmatrix} = \cos^2x + \sin^2x = 1,

 

 

 

 

(3)

eix, cos x について、

\begin{vmatrix}
e^{ix} & \cos x\\
ie^{ix} & -\sin x
\end{vmatrix} = -(\sin x + i\cos x)e^{ix},

 

 

 

 

(4)

sin x, eix について、

\begin{vmatrix}
\sin x & e^{ix}\\
\cos x & ie^{ix}
\end{vmatrix}=-(\cos x - i\sin x)e^{ix}

 

 

 

 

(5)

となる。(3), (4), (5) の行列式はすべて 0 でないため、解の組 (cos x, sin x, eix) が線型従属であることがいえた。従って指数関数は三角関数の線型結合として表すことができる。

e^{ix} = C_1 \cos x + C_2 \sin x.

 

 

 

 

(6)

後は2階線型微分方程式による証明と同様にして係数 C1, C2 を求めれば、オイラーの公式

e^{ix} = \cos x + i\sin x

が得られる[5][6]

別解として

|W|=\begin{vmatrix}
e^{ix} & \cos x +i\sin x \\
ie^{ix} & -\sin x+i\cos x
\end{vmatrix}=e^{ix}(-\sin x + i\cos x) - e^{ix}(i\cos x - \sin x)=0

として cos x + i sin xeix が線型従属であることを確認する。 ここで、ある定数 C について

e^{ix} = C(\cos x + i\sin x)

が成立する[注 5]。ここで x = 0 を代入すると C = 1 となり

e^{ix} = \cos x + i\sin x

が得られる[7]

関連項目[編集]

脚注[編集]

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参照[編集]

注釈[編集]

  1. ^ 指数関数 e·累乗を拡張したもので、複素数 x, y について ex × ey = ex+y という関係が成り立つ。e = e1 = 2.718281828...自然対数の底あるいはネイピア数と呼ばれる。
    虚数単位 ii2 = i × i = −1 を満たす数である。
    余弦関数 cos · および正弦関数 sin · は三角関数の一種である。正弦関数 sin θ は、直角三角形斜辺とその三角形の変数 θ に対応する角度を持つ鋭角対辺(正弦)の長さの比を表す。余弦関数 cos θ はもう一方の鋭角(余角)の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円(半径の長さを 1 とする円)の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す x, y 座標はそれぞれ cos θ, sin θ に等しい(θ は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、x 軸のなす角の大きさに対応する)。
    文献によっては、指数関数は、exponent(指数)から3字取って exp x (= ex) と表される。また虚数単位には i でなく j を用いることがある。
  2. ^ 三角関数の周期性(従って複素指数関数の周期性)により、オイラーの等式が成り立つのは θ = π に限らない。すなわち、任意の整数 z について θ = π + 2πz = 2π(z + 1/2)e = −1 を満たす。
  3. ^ i2 = −1 より i = −1/i であることを利用した。
  4. ^ e0 = 1 および sin 0 = 0, cos 0 = 1 を利用した。
  5. ^ cos x + i sin x は関数として 0 でないので。

参考文献[編集]

  • ファインマン, リチャード P. 『力学』I、坪井忠二訳、岩波書店〈ファインマン物理学〉、1977年、294, 307。ISBN 4-00-007711-2。OCLC 47339138
  • 吉田, 武 『オイラーの贈物—人類の至宝 eiπ = −1 を学ぶ』 東海大学出版会、2010年、新装版。ISBN 978-4486018636。OCLC 502982012
  • 小笠, 英志 『相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう』 ベレ出版、2011年、PP.165-171にオイラーの式を高校数学で納得する方法が載っている。ISBN 978-4860642679。