アーベル方程式

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数学において、ニールス・アーベルの名にちなむアーベル方程式(アーベルほうていしき、: Abel equation)とは、

f(h(x)) = h(x + 1)\,\!

あるいは

\alpha(f(x))=\alpha(x)+1\!

の形式で記述され、f の反復をコントロールする特殊な函数方程式のことを言う。

同値性[編集]

上述の二つの方程式は同値である。実際、α可逆函数とすると、二番目の方程式は

 \alpha^{-1}(\alpha(f(x)))=\alpha^{-1}(\alpha(x)+1)\,

のように書くことが出来る。すると x = α−1(y) とすることで、この方程式は

f(\alpha^{-1}(y))=\alpha^{-1}(y+1)\,

のように書くことが出来る。既知とされる函数 f(x) に対して、問題は函数 α−1 についての函数方程式を解くこととなる。また α−1(0) = 1 のような追加条件も必要となる可能性がある。

実パラメータ s に対して変数変換 sα(x) = Ψ(x) を行うことで、アーベル方程式は有名なシュレーダーの方程式 Ψ(f(x)) = s Ψ(x) に書き換えることが出来る。

さらに変換 F(x) = exp(sα(x)) を施すことで、ボッチャーの方程式 F(f(x)) = F(x)s が得られる。

歴史[編集]

はじめ、この方程式はより一般的な形式で記述されていた[1] [2]。その方程式は、一変数の場合ですら非自明なもので、特別な解析が必要とされた[3][4]

線型変換函数の場合、解はコンパクトな形式で表現できる[5]

特別な場合[編集]

テトレーションの方程式は、f = exp であるようなアーベル方程式の特別な場合である。

整数の議論の場合、アーベル方程式は再帰的な手順を表すものである。例えば

\alpha(f(f(x)))=\alpha(x)+2 ~

\alpha(f_n(x))=\alpha(x)+n ~

などのようになる。

ファトウ座標は、放物型不動点の近くでの離散力学系の局所的な挙動を記述する、アーベル方程式の解を表すものである[6]

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Abel, N.H. (1826). "Untersuchung der Functionen zweier unabhängig veränderlichen Größen x und y, wie f(x, y), welche die Eigenschaft haben, ...". Journal für die reine und angewandte Mathematik 1: 11–15. 
  2. ^ A. R. Schweitzer (1912). "Theorems on functional equations". Bull. Amer. Math. Soc. 19 (2): 51–106. doi:10.1090/S0002-9904-1912-02281-4. 
  3. ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1999). "The real-analytic solutions of the Abel functional equations". Studia Mathematica 134 (2): 135–141. 
  4. ^ Jitka Laitochová (2007). "Group iteration for Abel’s functional equation". Nonlinear Analysis: Hybrid Systems 1 (1): 95–102. doi:10.1016/j.nahs.2006.04.002.  Studied is the Abel functional equation α(f(x))=α(x)+1
  5. ^ G. Belitskii; Yu. Lubish (1998). "The Abel equation and total solvability of linear functional equations". Studia Mathematica 127: 81–89. 
  6. ^ Dudko, Artem (2012). Dynamics of holomorphic maps: Resurgence of Fatou coordinates, and Poly-time computability of Julia sets Ph.D. Thesis