シムソンの定理

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三角形 ABC のシムソン線
シムソン線(赤)は、スタイナーのデルトイド(青)に接する

幾何学におけるシムソンの定理とは三角形ABC外接円上の点Pから三角形の各辺BC, CA, ABにおろした垂線の足L, N, Mがすべて同一直線上にある(共線関係にある)という定理である。この直線のことをシムソン線或いはシムソンラインと呼ぶ。この定理はロバート・シムソンから名づけられた[1]。しかし、最初に1797年にこの概念を出版したのはウィリアム・ウォレス[2]である。

シムソン線の性質[編集]

  • 三角形の1つの頂点をPとすると、Pに対するシムソン線はPから対辺に下ろした垂線になる。またPを外接円の中心に対して頂点と対称の位置に取ると、Pに対するシムソン線は辺の1つと一致する。
  • Oを外接円の中心、PとP'を外接円上の点とする。Pに対するシムソン線とP'に対するシムソン線が成す角は、POP'の半分に等しい。特にPとP'が直径の両端にあるとき、2本のシムソン線は垂直に交わる。このときの交点は九点円上にある。
  • 三角形のABCの垂心をHとする。Pに対するシムソン線は、PHの中点を通る。
  • 共通の外接円を持つ2つの三角形があったとき、Pに対する2本のシムソン線が成す角はPによらず一定の値をとる。
  • シムソン線による包絡線はデルトイド(内サイクロイドの一種)となる。このデルトイドをスタイナーのデルトイドという。

証明[編集]

初等幾何による証明[編集]

複素数による証明[編集]

脚注[編集]

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  1. ^ Gibson History 7 - Robert Simson”. 2008年11月11日閲覧。
  2. ^ Simson Line from Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles”. 2008年9月23日閲覧。

参考文献[編集]

  • 清宮俊雄『幾何学 発見的研究法』科学新興新社、1988年3月、改訂版。ISBN 978-4-89428-188-2。
  • 清宮俊雄「4.7」『初等幾何学裳華房〈基礎数学選書 7〉、2002年8月(原著1972年5月)。ISBN 978-4-7853-1107-0。 - 2002年オンデマンド印刷で復刊。
  • 高木貞治近世数学史談・数学雑談』共立出版、1996年12月、復刻版、90-93頁。ISBN 978-4-320-01551-7。

関連項目[編集]