シンプソンの公式

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関数 f(x) (青) の、二次関数 P(x) (赤) による近似。

シンプソンの公式(シンプソンのこうしき、: Simpson's rule) とは、数値解析の分野において、定積分

近似値を得る方法である。名前は、トーマス・シンプソンにちなんだものである。

基本[編集]

シンプソンの公式は、f(x) を二次関数 P(x) で近似することで成立する。ここで、P(x) は f(x) の a, b, m (m は“中点”、すなわち (a+b)/2) による値をそれぞれとる。これは、ラグランジュ補間を用いることによって、次のような多項式による表示が得られる。

このとき、簡単な計算によって、次のシンプソンの公式が得られる。

シンプソンの公式による、積分の近似の誤差は、ab の間にある ξ が存在して、

となる。ただし、h = (ba)/2。さらに f(x) が2回微分可能で f′′ が凸関数であるとき

合成シンプソン公式[編集]

シンプソンの公式は、積分範囲 [a, b] が十分小さい場合であれば適当な近似であることがわかる。従って、積分範囲が大きい場合は、当然、積分範囲を小さな部分区間分割し、各部分区間についてシンプソンの公式を適用し、その結果を足し合わせるという方法が考えられる。この方法は、合成シンプソン公式 (composite Simpson's rule) として知られている。

ただし、n は [a, b] を均等に偶数個に分割した際の部分区間の個数、h = (ba)/n は各部分区間の長さ ("step length")、xi = a + ih (i = 0, ..., n)、特に、x0 = a, xn = b。この式は、次のようにも書ける。

合成シンプソン公式に基づく最大誤差は、次式で求めることができる。

関連記事[編集]

参考文献[編集]

  • Burden, Richard L. and Faires, J. Douglas (2000). Numerical Analysis, (7th Ed). Brooks/Cole. ISBN 0534382169.