ダランベールの微分方程式

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ダランベールの微分方程式(ダランベールのびぶんほうていしき、英:d'Alembert's equation)とは、

  … (1)

の形をしている一階常微分方程式である。 ここで、fg はそれぞれ、微分可能関数で、かつ f(p) ≠ p だとする。 f が恒等写像の場合、(1) はクレローの微分方程式となる。

この方程式は、ラグランジュの微分方程式(英:Lagrange's equation)とも呼ばれる。

解法[編集]

とおくと、(1) は、

  … (2)

となる。 (2) の両辺を x で微分すると、

である。 p を独立変数、xp の関数とみなすと、f(p) ≠ p だから、

  … (3)

となる。 (3) は一階線型常微分方程式だから、定数変化法により一般解

  … (4)

と求まる。 ここに、C は、積分定数である。

(1) の一般解は、p を助変数として、(2) と (4) により得られる。

なお、α = f(α) を満たす実数 α が存在する場合、y = x f(α) + g(α) が (1) の特異解を与えることがある。