チェビシェフの不等式

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チェビシェフの不等式(チェビシェフのふとうしき、: Chebyshev's inequality)は、不等式で表される、確率論の基本的な定理である。パフヌティ・チェビシェフにより初めて証明された。

標本あるいは確率分布は、平均の周りに、ある標準偏差をもって分布する。この分布と標準偏差の間に、どのような標本・確率分布でも成り立つ関係を示したのが、チェビシェフの不等式である。例えば、平均から 2標準偏差以上離れた値は全体の 1/4 を超えることはなく、一般に n 標準偏差以上離れた値は全体の 1/n2 を超えることはない。

歴史[編集]

この定理はロシアの数学者パフヌティ・チェビシェフの名をつけられているが、最初にこの定理を示したのは彼の友人であり同僚でもあったIrénée-Jules Bienayméである[1]:98

この定理は最初に1853年に Bienaymé によって証明がない状態で定式化され[2]、後の1867年にチェビシェフによって証明された[3] 。彼の教え子であるアンドレイ・マルコフは1884年に博士論文の中で別証明を与えた[4]

一般的表現[編集]

この不等式は測度論を使って一般的に述べることができ、それから特別の場合(測度空間次元1)として、確率論での形が導かれる。

測度論的表現[編集]

(X, Σ, μ) を測度空間、fX 上で定義された拡張実数無限大を含む)値可測関数とすると、任意の実数 t > 0 に対して

となる。より一般的には、g が非負実数値可測関数で、f の範囲で減少しないとすれば、

となる。最初の式は、ここで g(t)

で定義し、f の代わりに |f| を用いれば導かれる。

確率論的表現[編集]

X を、期待値μ, 有限の分散σ2 である確率変数とすると、任意の実数 k > 0 に対して

ただし k > 1 の場合にだけ意味がある。

例として、k = 2 を使えば、少なくとも半数の値は区間 (μ2σ, μ + 2σ) 内に存在することが分かる。

チェビシェフの不等式は大数の法則(弱法則)の証明に用いられるものとして特に重要である。

応用例[編集]

分かりやすい例として、大量の文書があるとしよう。その文章の長さは平均1000文字、標準偏差は200文字であることが分かっているとしよう。するとチェビシェフの不等式から、少なくとも75%の文章が600から1400文字の長さであることが導かれる(k = 2 の場合)。

証明[編集]

測度論的な証明[編集]

AtAt = {xX | f(x) ≥ t} で定義すると、

より、

となる。上の不等式を g(t) で割れば、目的の不等式が得られる。

確率論的な証明[編集]

任意の実数確率変数 Y と任意の正の実数 a に対して、マルコフの不等式から Pr(|Y| > a) ≤ E(|Y|)/a が得られる。この不等式に Y = (Xμ)2, a = (σk)2 を適用すると、チェビシェフの不等式が導かれる。

また直接証明する方法もある。事象 A に対し IAA指示関数に従う確率変数である(つまり IAA が起これば 1、そうでなければ 0)とする。すると


と証明される。

出典 [編集]

  1. ^ Donald Knuth (1997). The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms, Volume 1 (3rd ed.). Reading, Massachusetts: Addison–Wesley. ISBN 978-0-201-89683-1. http://www-cs-faculty.stanford.edu/~uno/taocp.html 2012年10月1日閲覧。. 
  2. ^ I.-J. Bienaymé (1853). “Considérations àl'appui de la découverte de Laplace”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences 37: 309–324. 
  3. ^ P. Tchebichef (1867). “Des valeurs moyennes”. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 2 12: 177–184. 
  4. ^ Markov A. (1884) On certain applications of algebraic continued fractions, Ph.D. thesis, St. Petersburg

関連項目[編集]