ディラック共役

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ディラック共役(ディラックきょうやく, : Dirac adjoint)とは、場の量子論においてディラック・スピノールに対して定められる双対操作である。ディラック共役は、スピノールを組み合わせて作った量がよい振る舞いを示すよう、上手く形式化するために作られた。普通のエルミート共役は系のローレンツ対称性を欠くため、代わりにディラック共役が用いられる。

定義[編集]

ディラック・スピノール ψ のディラック共役 ψ は、次のように定義される:

ここで ψψエルミート共役γ0ガンマ行列

ローレンツ変換の下でのスピノール[編集]

特殊相対論ローレンツ群コンパクトではない。 そのためディラック・スピノール空間におけるローレンツ変換表現英語版ユニタリーではない。これは一般に

として表される。ここで λ は、次のようにスピノールに対して作用するローレンツ変換である:

.

この時スピノール ψ のエルミート共役 ψ は、次のように変換される:

.

そのため、通常のエルミート共役を用いた ψψローレンツ・スカラー英語版とならない。また ψγμψ自己共役にならない。

ここでディラック共役の定義を用いると、ψ は次のように変換されることが分かる:

.

ここでガンマ行列の公式 1 = γ0γ0 とローレンツ代数の公式 γ0λγ0 = λ−1 を用いると、ディラック共役の次のような変換性が得られる:

.

この結果、ディラック共役 ψ を用いた ψψ

とローレンツ・スカラーの変換性を満足する。また ψγμψ も自己共役となる:

.

利用法[編集]

ディラック共役を用いて、スピン1/2の粒子場に関する4元確率の流れ J を次のように表すことが出来る:

ここで c光速J の成分は密度 ρ と3元確率の流れ j を表す:

.

μ = 0 と取り、再びガンマ行列の公式 1 = γ0γ0 を用いると、確率密度は次のようになる:

.

参考文献[編集]

  • B. Bransden; C. Joachain (2000). Quantum Mechanics (2nd ed.). Pearson. ISBN 0-582-35691-1. 
  • M. Peskin; D. Schroeder (1995). “Chapter.3 The Dirac Field”. An Introduction to Quantum Field Theory (2nd ed.). Westview Press. ISBN 0-201-50397-2. 
  • A. Zee (1995). “Dirac bilinears”. Quantum Field Theory in a Nutshell (2nd ed.). Princeton University Press. p. 97. ISBN 0-691-01019-6. 

関連項目[編集]