ディリクレの判定法

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数学において、ディリクレの判定法(ディリクレのはんていほう、: Dirichlet's test)は級数収束判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレにちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées英語版フランス語版" においてであった[1]

主張[編集]

実数複素数 が次の条件

  • ある定数 があり、全ての正の整数 N に対して

を満たすならば、級数 は収束する。

証明[編集]

とおく。

部分和分法により と変形できる。

は絶対値が M で抑えられていて なので、第1項は0に収束する:

()

一方 は非増加数列なので は任意の k に対し非負であり、 となるが、

であるから、 のとき に収束する。

よって比較判定法により もまた収束する。級数 絶対収束するから自身もまた収束する。

以上より が収束することが言えた。

応用[編集]

  • ディリクレの判定法で
とした特別な場合が交代級数判定法英語版である。
  • が減少して0に収束する実数列であれば、 は常に収束する。
  • アーベルの判定法英語版はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。

広義積分[編集]

広義積分の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 fg があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に(積分範囲に依らず)上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。

脚注[編集]

  1. ^ Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), p. 253-255.

参考文献[編集]

  • Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics, Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
  • Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis, Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) 0-8247-6949-X.