Part of a series of articles about 解析学
数学 において、ディリクレの判定法 (ディリクレのはんていほう、英 : Dirichlet's test )は級数 の収束 判定法の一つである。名称はこれを記述したペーター・グスタフ・ディリクレ にちなんでいるが、発表されたのは彼の死後、1862年の "Journal de Mathématiques Pures et Appliquées(英語版 、フランス語版 ) " においてであった[1] 。
主張 [ 編集]
実数 列
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
と複素数 列
{
b
n
}
{\displaystyle \{b_{n}\}}
が次の条件
a
n
+
1
≤
a
n
{\displaystyle a_{n+1}\leq a_{n}}
lim
n
→
∞
a
n
=
0
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }a_{n}=0}
ある定数
M
{\displaystyle M}
があり、全ての正の整数 N に対して
|
∑
n
=
1
N
b
n
|
≤
M
{\displaystyle \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq M}
を満たすならば、級数
∑
n
=
1
∞
a
n
b
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}b_{n}}
は収束する。
証明 [ 編集]
S
n
=
∑
k
=
1
n
a
k
b
k
{\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}}
、
B
n
=
∑
k
=
1
n
b
k
{\displaystyle B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}}
とおく。
部分和分法 により
S
n
=
a
n
+
1
B
n
+
∑
k
=
1
n
B
k
(
a
k
−
a
k
+
1
)
{\displaystyle S_{n}=a_{n+1}B_{n}+\sum _{k=1}^{n}B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}
と変形できる。
B
n
{\displaystyle B_{n}}
は絶対値が M で抑えられていて
a
n
→
0
{\displaystyle a_{n}\rightarrow 0}
なので、第1項は0に収束する:
a
n
+
1
B
n
→
0
{\displaystyle a_{n+1}B_{n}\to 0}
(
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
)
一方
a
n
{\displaystyle a_{n}}
は非増加数列なので
a
k
−
a
k
+
1
{\displaystyle a_{k}-a_{k+1}}
は任意の k に対し非負であり、
|
B
k
(
a
k
−
a
k
+
1
)
|
≤
M
(
a
k
−
a
k
+
1
)
{\displaystyle |B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|\leq M(a_{k}-a_{k+1})}
となるが、
∑
k
=
1
n
M
(
a
k
−
a
k
+
1
)
=
M
∑
k
=
1
n
(
a
k
−
a
k
+
1
)
=
M
(
a
1
−
a
n
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}M(a_{k}-a_{k+1})=M\sum _{k=1}^{n}(a_{k}-a_{k+1})=M(a_{1}-a_{n+1})}
であるから、
∑
k
=
1
∞
M
(
a
k
−
a
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }M(a_{k}-a_{k+1})}
は
n
→
∞
{\displaystyle n\to \infty }
のとき
M
a
1
{\displaystyle Ma_{1}}
に収束する。
よって比較判定法 により
∑
k
=
1
∞
|
B
k
(
a
k
−
a
k
+
1
)
|
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }|B_{k}(a_{k}-a_{k+1})|}
もまた収束する。級数
∑
k
=
1
∞
B
k
(
a
k
−
a
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }B_{k}(a_{k}-a_{k+1})}
は絶対収束 するから自身もまた収束する。
以上より
S
n
{\displaystyle S_{n}}
が収束することが言えた。
応用 [ 編集]
b
n
=
(
−
1
)
n
⇒
|
∑
n
=
1
N
b
n
|
≤
1
{\displaystyle b_{n}=(-1)^{n}\Rightarrow \left|\sum _{n=1}^{N}b_{n}\right|\leq 1}
とした特別な場合が交代級数判定法(英語版 ) である。
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
が減少して0に収束する実数列であれば、
∑
n
=
1
∞
a
n
sin
n
{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sin n}
は常に収束する。
アーベルの判定法(英語版 ) はディリクレの判定法の特別な場合だと見なせる。
広義積分 [ 編集]
広義積分 の収束に対しても類似した命題が成り立つ。実軸の非有界区間で定義された関数 f と g があって、f は任意の積分範囲での積分値の絶対値がある定数で一様に(積分範囲に依らず)上から抑えられていて、g は非負値かつ単調非増加のとき、fg の広義積分は収束する。
脚注 [ 編集]
^ Démonstration d’un théorème d’Abel. Journal de mathématiques pures et appliquées 2nd series, tome 7 (1862), p. 253-255 .
参考文献 [ 編集]
Hardy, G. H., A Course of Pure Mathematics , Ninth edition, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379–380).
Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis , Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15) 0-8247-6949-X.
外部リンク [ 編集]