トレース (体論)

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体論において、トレース (trace) は、有限次体拡大 L/K に付随して現れる写像で、L から K への K-線型写像である。

定義[編集]

L/K を有限拡大とする。分離次数を [L : K]s = r とする。σ1, ..., σrLK代数閉包 Ka への相異なる埋め込み全部とする。L の元αに対し、トレース

\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=[L:K]_i\sum_{\nu=1}^r\sigma_\nu\alpha

で定義する。ここで [L : K]i は非分離次数である。

分離拡大でなければ、トレースは 0 である。分離拡大(特にガロワ拡大)であれば、トレースは

\operatorname{Tr}_{L/K}(\alpha)=\sum_{\nu=1}^r\sigma_\nu\alpha

である。

LK-ベクトル空間と見る。α∈L に対し L の元をα倍する写像 LLK-線型写像であるので、適当な基底を取ると行列で表すことができる。この行列のトレースは TrL/K(α) と一致する。(基底の取り方には依らない。)

性質[編集]

トレース写像は、L から K への K-線型写像である。また、体の拡大の列 LMK に対し

\operatorname{Tr}_{L/K}=\operatorname{Tr}_{M/K}\circ\operatorname{Tr}_{L/M}

が成り立つ。

L = K(α) のとき、αの K 上の最小多項式

Xr + ar−1Xr−1 + ... + a0

とすると、

TrK(α)/K(α) = −ar−1

である。

L/K を有限次分離拡大とする。e1, ..., erLK-ベクトル空間としての基底とする。このとき次を満たすある基底 e'1, ..., e'r が存在する:

\operatorname{Tr}_{L/K}(e_ie'_j)=\delta_{ij}=\begin{cases}
1&(i=j)\\0&(i\ne j)\end{cases}

関連項目[編集]

参考文献[編集]