ノイマン級数
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関数解析学において、ノイマン級数(ノイマンきゅうすう、英: Neumann series)とは、無限級数によって定義される逆作用素。定理の名はドイツの数学者C. ノイマンに由来する。
定義[編集]
A をバナッハ空間X での有界な線形作用素とする(A ∈ B(X ))。このとき、A の作用素ノルム||A ||が||A ||<1を満たすならば、恒等作用素I との差で与えられるI -A は1対1で(I -A )-1が有界作用素として存在するとともに、
が成り立つ。この級数をノイマン級数と呼ぶ。また、このとき、ノルムは
と評価される。
これは、|x |<1なるx ∈ Cについての無限級数
の作用素への拡張になっている。
特にz ∈ Cと有界作用素A について、|z |>||A ||であれば、レゾルベント作用素(z I -A )-1が存在し、
及び
が成り立つ。
逐次近似との関係[編集]
バナッハ空間X の元u、v と線形作用素A で与えられる方程式
を考える。ここで、v は既知の変数とし、u を未知の変数とする。この方程式は
と変形できることから、逆作用素(I -A )-1が存在し、それが求まれば、問題は解ける。 一方、元の方程式において、逐次代入を繰り返せば、
となる。従って、An+1u の項が無視できるとすると
で定義されるunが逐次近似解となる。ノイマン級数は、一定の条件が満たされば、n→∞で逐次近似解unが真の解となり、
となることを意味している。ノイマン級数の結果から、逐次近似解unの誤差評価を行うこともでき、
である。
積分方程式への応用[編集]
バナッハ空間X を有限区間[a,b ]上の連続関数からなる関数空間C([a, b ])とし、 K (x, y )を[a, b ]×[a, b ]で定義された連続関数、f (x )を[a, b ]上の連続関数(f ∈ C([a, b ]))とする。このとき、C([a, b ]))において、フレドホルム型積分方程式
を考える。ここで、
としたときに、|λ|・||K || < 1の条件が満たされるならば、上記の積分方程式の解u が一意的に存在し、ノイマン級数によって、
と表すことができる。
参考文献[編集]
- 藤田宏、伊藤清三、 黒田成俊 『関数解析 (岩波基礎数学選書)』岩波書店(1991)ISBN 978-4000078108
- 黒田成俊 『関数解析(共立数学講座 (15))』 共立出版(1980)ISBN 978-4320011069