ハウスドルフのパラドックス

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ハウスドルフのパラドックス: Hausdorff paradox)とは、選択公理の仮定のもと、球面の逆説的な分解が存在することを主張した定理(疑似パラドックス)である。

つまり、選択公理を仮定すると、球面 K の分割 K = Q ∪ A ∪ B ∪ C であって、A, B, C, B ∪ C は互いに合同であり、Q は可算集合となるようなものが存在する。

いま、合同な図形に対して値が等しいような有限加法的測度が存在し、K の有限加法的測度が 1 であるとすると、A の測度は 1/2 にも 1/3 にもなり、矛盾が生じる。

この定理は、フェリックス・ハウスドルフにより、1914年選択公理を使って証明され、『集合論基礎』(Grundzüge der Mengenlehre, Leipzig 1914) の巻末に採録された。フランスの数学者エミール・ボレルは、この結果を見て、選択公理に疑念を深めた。

また、1924年、ポーランドの数学者ステファン・バナッハ(バナフ)アルフレト・タルスキは、ハウスドルフのパラドックスを援用して、バナッハ=タルスキーのパラドックスを証明した。

証明の概略[編集]

球面の回転群の構成[編集]

をある軸の180度の回転、z軸の周りの120度の回転をとする。 これらによって生成された群をGとする。

回転軸を適当に選べば、は非可換であり、その積は1とならないことを示すことができる。

の2つ以上からなる積は、以下ののタイプに分類される。ただし, は1または2である.

であることが示されれば、であることが分かる。

とすると、

であり、は、の式ので置き換えたものである。

またはn個の積を に作用させると、

であることが分かる.

による の変換結果のz座標は

である。右辺はの多項式であり、係数は代数的数である。を選んで、超越数なるようにすれば、任意の n > 0 に対して、z ≠ 1 とすることができる。

Gの分割[編集]

回転 (G) を3つの集合A, B, Cに分割することができる。

  • Aが単位元1を持つ。
  • Aに属するとき、A + Bに属する。
  • Aに属するとき、はそれぞれB, Cに属する。

手続き (1)[編集]

1は、Aに属するものとする。Bに属するものとする。Cに属するものとする。

手続き (2)[編集]

を先頭が又はであるような、n個の積とする。

を先頭がであるような、n個の積とする。

A, B, Cに属するならば、B, A, Aに属するようにする。

A, B, Cに属するならば、B, C, Aに属するようにする。C, A, Bに属するようにする。

このような手続きにより、Gは3つの集合に分けることが可能である(下図参照)。

選択公理の適用[編集]

1と異なるGの要素のKでの固定点をQとする。Qは可算集合である。P = K - Qと置く。xの軌道をとすると、か、のいずれか1つが成り立つ。 そして である.


選択公理により、それぞれの軌道から代表元を選ぶことができる。これをMとする。

このとき

A, B, Cと書き直すとであり、

であるから、は合同となる。よって定理は証明された。

参考文献[編集]

  • Felix Hausdorff, Grundzüge der Mangenlehre, Leipzig (1914), pp. 469–. 
  • Felix Hausdorff, Bemerkung über den Inhalt von Punktmengen. Mathematische Annalen 75 (1914), pp. 428–434 
  • S. Banach et A. Tarski, Sur la décomposition des ensembles de points en parties respectivement congruentes,Findamenta Mathematicae 6 pp. 244–277 (1924), Banach全集 第一巻 pp. 118–148, http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm6/fm6127.pdf 
  • 砂田利一 (2009), 新版 バナッハ・タルスキーのパラドックス, 岩波書店 
  • Stan Wagon (1985, Paperback 1993), The Banach-Tarski Paradox, Cambridge Univ. Press