ハールウェーブレット

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ハールウェーブレット

ハールウェーブレット: Haar wavelet)とは、ウェーブレットの一つ。1909年に Alfréd Haar がハール列の名称で発表した[1]。Daubechiesウェーブレットの一つでもある。

ハールウェーブレットは最も簡単なウェーブレットである。欠点は、連続では無いため、微分可能では無い事。

定義[編集]

ウェーブレット関数の定義は以下の通り。

\psi(t) = \begin{cases}
  1 \quad & 0 \leq  t < \frac{1}{2},\\
 -1 & \frac{1}{2} \leq t < 1,\\
  0 &\mbox{otherwise.}
\end{cases}

対応するスケーリング関数は以下の通り。

\phi(t) = \begin{cases}1 \quad & 0 \leq  t < 1,\\0 &\mbox{otherwise.}\end{cases}

ハール関数とハール系[編集]

整数 n, k に対して、下記のようにハール関数 ψn, k が定義できる。

 \psi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \psi(2^n t-k), \quad t \in \mathbf{R}.

下記の性質を持つ。δi, jクロネッカーのデルタ

 \int_{\mathbf{R}} \psi_{n, k}(t) \, d t = 0
 \quad \|\psi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbf{R})} = \int_{\mathbf{R}} \psi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1
 \int_{\mathbf{R}} \psi_{n_1, k_1}(t) \psi_{n_2, k_2}(t) \, d t = \delta_{n_1, n_2} \delta_{k_1, k_2}

ハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。

\{ \psi_{n,k}(t) \; ; \; n \in \mathbf{Z}, \; k \in \mathbf{Z} \}

スケール n_1 のハール系とは下記の関数集合の事で、L2(R) の正規直交基底である。

\{ \phi_{n_1,k}(t), \psi_{n_2,k}(t) \; ; \; n_2 \in \mathbf{Z}, \; k \in \mathbf{Z}, \; n_1 \le n_2 \}

スケーリング関数[編集]

整数 n, k に対して、下記のように多重解像度解析のためのスケーリング関数 \phi_{n,k} が定義できる。

 \phi_{n,k}(t) = 2^{n / 2} \phi(2^n t-k), \quad t \in \mathbf{R}.

下記の性質を持つ。

 \int_{\mathbf{R}} \phi_{n, k}(t) \, d t = 2^{-n/2}
 \quad \|\phi_{n, k}\|^2_{L^2(\mathbf{R})} = \int_{\mathbf{R}} \phi_{n, k}(t)^2 \, d t = 1

同じ解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。

\int_{\mathbf{R}} \phi_{n, k_1}(t) \phi_{n, k_2}(t) \, d t = \delta_{k_1, k_2}

異なる解像度のスケーリング関数の内積は以下の通り。

\int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \phi_{n_2, k_2}(t) \, d t
= 2^{\frac{n_1 + n_2}{2}} \int_{\frac{k_1}{2^{n_1}}}^{\frac{k_1 + 1}{2^{n_1}}} \phi(2^{n_2}t - k_2) \, d t
= \begin{cases}
  2^{\frac{n_1 + n_2}{2}} ( \min \{ \frac{k_1 + 1}{2^{n_1}}, \frac{k_2 + 1}{2^{n_2}} \} - \max \{ \frac{k_1}{2^{n_1}}, \frac{k_2}{2^{n_2}} \} ) \quad & \frac{k_2}{2^{n_2}} < \frac{k_1 + 1}{2^{n_1}} \land \frac{k_1}{2^{n_1}} < \frac{k_2 + 1}{2^{n_2}},\\
  0 &\mbox{otherwise.}
\end{cases}

ウェーブレット関数とスケーリング関数の関係[編集]

ウェーブレット関数やスケーリング関数は下記のトゥースケール関係が成立し、一段細かい解像度のスケーリング関数から合成できる。

\phi(t) = \phi(2t) + \phi(2t - 1)
\psi(t) = \phi(2t) - \phi(2t - 1)

解像度を指定した場合は以下の通り。

\phi_{n, k}(t) = \frac{\phi_{n + 1, 2k} (t) + \phi_{n + 1, 2k + 1}(t)}{\sqrt{2}}
\psi_{n, k}(t) = \frac{\phi_{n + 1, 2k} (t) - \phi_{n + 1, 2k + 1}(t)}{\sqrt{2}}

ウェーブレット関数とスケーリング関数の内積は、スケーリング関数よりウェーブレット関数の方が解像度が細かいか、もしくは、同じならば常に0。そうでは無い場合の方の式は、上記の異なる解像度のスケーリング関数の内積を代入すれば良い。

\int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \psi_{n_2, k_2}(t) \, d t
= \begin{cases}
  \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \phi_{n_2 + 1, 2 k_2}(t) \, d t - \int_{\mathbf{R}} \phi_{n_1, k_1}(t) \phi_{n_2 + 1, 2 k_2 + 1}(t) \, d t \right) \quad & n_1 > n_2,\\
  0 &\mbox{otherwise.}
\end{cases}

関連項目[編集]

参照[編集]

  1. ^ Haar, Alfréd (1910). “Zur Theorie der orthogonalen Funktionensysteme”. Mathematische Annalen 69 (3): 331–371. doi:10.1007/BF01456326.