ビアンキ群

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数学において、ビアンキ群 (Bianchi group) は

という形のである。ただし d平方因子を持たない正の整数である。PSL射影特殊線型群を表し、虚二次体 Q(d)整数環である。

この群は、最初に Bianchi (1892) により、今ではクライン群英語版と呼ばれている PSL2(C)離散部分群の自然なクラスとして、研究された。

PSL2(C) の部分群として、ビアンキ群は、3次元双曲空間英語版 H3向き付けを保つ等長変換として作用する。商空間 は有限の体積を持つ非コンパクトな双曲的 3 次元多様体であり、ビアンキ多様体とも呼ばれる。基礎体 Q(d)デデキントゼータ函数を用いた体積の正確な公式は、アンベル英語版 (Humbert) により次のように計算された。DQ(d)判別式英語版とし、H への不連続な作用とすると、

となる。Md のカスプ全体の集合は、Q(d)類群全単射の対応がつく。任意の非コンパクトな数論的クライン群は、ビアンキ群と弱通約的 (weakly commensurable) であることがよく知られている[1]

脚注[編集]

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参考文献[編集]

  • Bianchi, Luigi (1892). “Sui gruppi di sostituzioni lineari con coefficienti appartenenti a corpi quadratici immaginarî”. Mathematische Annalen (Berlin/Heidelberg: Springer) 40: 332–412. doi:10.1007/BF01443558. ISSN 0025-5831. JFM 24.0188.02. LCCN 28-24764. OCLC 223702365. 
  • Elstrodt, Juergen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (November 25, 1997). Groups Acting On Hyperbolic Spaces. Springer Monographs in Mathematics. Springer Verlag. ASIN 3540627456. ISBN 3-540-62745-6. NCID BA33867572. OCLC 851372121. Zbl 0888.11001. 
  • Fine, Benjamin (July 17, 1989). Algebraic theory of the Bianchi groups. Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics. 129. New York: Marcel Dekker Inc.. ASIN 0824781929. ISBN 978-0-8247-8192-7. NCID BA07264649. MR1010229. OCLC 804027914. Zbl 0760.20014. http://books.google.com/books?id=1D6crOEoRFEC. 
  • Fine, B. (2001), “Bianchi group”, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://eom.springer.de/Bianchi_group.htm 
  • Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (November 14, 2002). The Arithmetic of Hyperbolic 3-Manifolds. Graduate Texts in Mathematics. 219. Springer-Verlag. ASIN 0387983864. ISBN 0-387-98386-4. NCID BA60157321. OCLC 936525755. Zbl 1025.57001.