ファイバー (数学)

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数学において、用語ファイバー (fiber, fibre) は文脈によって次の2つの意味を持つ:

  1. 素朴集合論において、写像 fX → Y のもとでの集合 Yファイバーとは、単元集合 {y} の f による逆像のことである。
  2. 代数幾何学において、スキームのファイバーの概念は、一般に全ての点が閉とは限らないから、より注意深く定義されなければならない。

定義[編集]

素朴集合論におけるファイバー[編集]

f: XY写像とする。元 yYファイバー は、

と定義され、f−1(y) とも書かれる。

様々な応用においてこれはまた次のようにも呼ばれる:

  • 写像 f による 逆像
  • 写像 f による の原像、
  • y における関数 f等位集合

等位集合という用語は f が実数値でしたがって y が単に数であるときにのみ用いられる。fRd の領域上の連続関数で、yfに入っていれば、f に対する y の等位集合は、2次元空間内の曲線や、3次元空間内の曲面、一般には d − 1 次元超曲面である。

代数幾何学におけるファイバー[編集]

代数幾何学において、fX → Y がスキームの射であれば、Y の点 pファイバーはファイバー積 である、ただし k(p) は p における剰余体

Terminological variance[編集]

用語「ファイバー」、「逆像」、「原像」、「等位集合」の推奨された使い方は以下のとおりである:

  • 写像 f のもとでの元 y のファイバー
  • 写像 f のもとでの集合 の逆像
  • 写像 f のもとでの集合 の原像
  • y における関数 f の等位集合。

用語の濫用によって、以下のように使われることがあるが、避けるべきである:

  • y における写像 f のファイバー
  • y における写像 f の逆像
  • y における写像 f の原像
  • 写像 f のもとでの点 y の等位集合。

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f実関数 とし、y実数とする。

  • y > 0 であれば、y のファイバーは二元集合 である。
  • y = 0 であれば、y のファイバーは単元集合 である。
  • y < 0 であれば、y のファイバーは空集合 である。

関連項目[編集]