ファクトリオン

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数学において、ファクトリオン(: factorion)とは、 各桁の数字階乗がその数自身となる自然数である。例えば、145は、1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145であるためファクトリオンである。

十進法では、ファクトリオンは、1214540585(オンライン整数列大辞典の数列 A014080)の4つのみである。

ファクトリオン、という名称は、Clifford A. Pickover英語版が彼の著書、Keys to Infinity の22章、"The Loneliness of the Factorions"で用いた。

上限[編集]

nd桁の自然数であるファクトリオンとすると、10d − 1n ≤ 9!d(ただし9!dは9!とdの意である)が成り立たなければならない。しかしこれは、d ≥ 8に対し成り立たず、nは最大で7桁であることが分かるため、最初の上限として、9999999が分かる。しかし、7桁の数の各桁の階乗の和は、9!*7 = 2540160なので、2番目の上限は2540160となる。さらに、9!6 = 2177280であり、6つの9があり、2540160より大きくない7桁の自然数は、1999999である。これは、調べれば分かる通りファクトリオンではない。次の最大の和は、1999998である。同様の手順で、次の上限は1854721と分かる。

他の基数[編集]

十進法以外にも定義が拡張されている場合、ファクトリオンは無限に存在する。これの例として、、任意のn > 3 である自然数に対し、n! + 1 と n! + 2は(n-1)!進法でファクトリオンであり、2桁で"n1"、"n2"と書かれる。例えば、25と26は六進法でファクトリオンであり、"41"、"42"と書かれる。また、121と122は二十四進法でファクトリオンであり、"51"、"52"と書かれる。

n > 2に対し、n! + 1はさらに(n! - n + 1)進法でもファクトリオンであり、2桁で"1n"と書かれる。例えば、25は二十一進法でファクトリオンであり、"14"とかかれる。また、121は百十六進法でファクトリオンであり、"15"と書かれる。

全ての自然数は一進法でファクトリオンであり、1と2は全ての記数法でファクトリオンである。

次の表は、三十進法までのファクトリオンの一覧である。

オンライン整数列大辞典の数列 A193163

基数(n) n進表記 十進法での表現
1 1, 11, 111, ... 1, 2, 3, ... (全ての自然数)
≥1 1 1
2 10 2
≥3 2 2
4 13 7
5 144 49
6 41 25
6 42 26
9 6 2558 41282
10 145 145
10 4 0585 40585
11 24 26
11 44 48
11 2 8453 40472
13 8379 0C5B 519326767
14 8 B0DD 409C 12973363226
15 661 1441
15 662 1442
16 260 F3B6 6BF9 2615428934649
17 8405 40465
17 146F 2G85 00G4 43153254185213
17 146F 2G85 86G4 43153254226251
21 14 25
23 498J HHJI 5L7M 50F0 1175342075206371480506
24 51 121
24 52 122
26 10 K2J3 82HG GF81 2554945949267792653
26 10 K2J3 82HG GF82 2554945949267792654
27 725 5162
27 75 CA7B E19H 1K2P 6DKF 15511266000434263077417003
28 54 144
30 Q 809T 0Q5Q A0EG CSGI CG4R 9158749082185220449342855718547

参考文献[編集]

  • Clifford A. Pickover, Keys to Infinity ISBN 0-471-19334-8

関連項目[編集]