フェンシェルの双対性定理

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数学においてフェンシェルの双対性定理(フェンシェルのそうついせいていり、: Fenchel's duality theorem)は、ウェルナー・フェンシェル英語版の名にちなむ、凸函数の理論における一結果である。

ƒRn 上の真凸函数とし、gRn を真凹函数とする。このとき、正則性の条件が満たされるなら、

が成り立つ。ここで ƒ *ƒ凸共役(フェンシェル=ルジャンドル変換とも呼ばれる)であり、g *g の凹共役である。すなわち、次が成り立つ。

数学的定理[編集]

XYバナッハ空間とし、 を凸函数とし、有界線型作用素とする。このとき、フェンシェルの問題とは

弱双対性を満たす、すなわち が成立することを言う。ここで はそれぞれ f,g の凸共役であり、共役作用素であることに注意されたい。この双対問題に対する摂動函数 で与えられる。

f,g および A は次のいずれかを満たす。

  1. fg下半連続で、。ここで 代数的内部であり、 はある函数 h に対する集合 である。
  1. 。ここで は函数が連続であるような点である。

このとき強双対性が成立する。すなわち となる。 であるなら、順序集合が達成される[1]

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Borwein, Jonathan; Zhu, Qiji (2005). Techniques of Variational Analysis. Springer. pp. 135–137. ISBN 978-1-4419-2026-3.