フロイデンタールのスペクトル定理

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数学におけるフロイデンタールのスペクトル定理(フロイデンタールのスペクトルていり、: Freudenthal spectral theorem)とは、1936年にハンス・フロイデンタールによって証明されたリース空間論の一結果である。大まかに言うと、単項射影性質(principal projection property; 主射影性質)を持つリース空間内の一つの正元によって支配される任意の元は、ある種の単関数により一様に近似できる、ということが述べられている定理である。

数多くの有名な結果が、フロイデンタールのスペクトル定理から得られる。例えば、有名なラドン=ニコディムの定理ポアソンの公式の正当性、正規作用素の理論によるスペクトル定理などは、フロイデンタールのスペクトル定理の特別な場合として従うことが示される。

定理の主張[編集]

e はリース空間 E に属する任意の正元とする。E の正元 pe の成分 (component) であるとは、p ⊥ (ep) が成立することを言う[1]p1, p2, …, pn が互いに素な e の成分であるとき、p1, p2, …, pn の任意の実線型結合を e-単関数と呼ぶ。

定理 (Freudenthal)[2]
単項射影性質を持つリース空間 EE の任意の正元 e について、e の生成する主イデアル内の任意の元 f に対して、適当な e-単関数列 {sn} および {tn} が存在して、それぞれ下から単調に、および上から単調に、fe-一様に収束する。

ラドン=ニコディムの定理との関係[編集]

測度空間とし、 上の符号付 -加法的測度の実空間とする。全変動ノルム英語版を備えるデデキント完備なバナッハ束であり、したがって主射影性を持つことが示される。任意の正測度 に対し、上述のように定義される -単関数は、 上の -可測単関数と(通常の意味で)ちょうど対応することが示される。さらに、フロイデンタールのスペクトル定理より、 によって生成される帯(band)内の任意の測度 上の -可測単関数によって下から単調な方法で近似されるため、ルベーグの単調収束定理より、 はある 関数に対応し、 によって生成される帯とバナッハ束 の間の等長束同型を構成することが示される。

関連項目[編集]

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参考文献[編集]

  • Zaanen, Adriaan C. (1996), Introduction to Operator Theory in Riesz spaces, Springer, ISBN 3-540-61989-5 
  • Zaanen, Adriaan C.; Luxemburg, W. A. J. (1971), Riesz spaces I, North-Holland, ISBN 0-7204-2451-8