ノルム剰余同型定理

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数学の一分野である代数的K-理論において、ノルム剰余同型定理(norm residue isomorphism theorem)[1](または、ブロッホ・加藤の予想(Bloch-Kato conjecture))は、長らく待ち望まれていたミルナーのK-理論エタールコホモロジーに関係する結果である。ジョン・ミルナー(John Milnor)[2]は、この定理の特別な場合は正しいであろうと見通しを述べていて、この問題はミルナー予想として知られていた。一般の場合の予想は、スペンサー・ブロッホと加藤和也[要曖昧さ回避][3]により予想され、ブロッホ・加藤の予想(Bloch–Kato conjecture)、もしくは、(L-函数の特殊値におけるブロッホ・加藤の予想と区別するために)モチーフ的ブロッホ・加藤の予想(motivic Bloch–Kato conjecture)として知られるようになった。ミルナーの予想はウラジミール・ヴォエヴォドスキー(Vladimir Voevodsky)により証明された[4][5][6][7]。後日、ヴォエヴォドスキーは、一般的なブロッホ・加藤の予想も証明した[8][9]。ヴォエヴォドスキーは、多くの高度な斬新なマーカス・ルスト英語版(Markus Rost)の結果を使い、双方の結果を証明した。

ステートメント[編集]

k の可逆な整数 ℓ に対し、写像 が存在する。ここに k のある分離拡大での1の ℓ-乗根のなす群とする。この写像は、同型 を導く。これが K-理論に関連していることの最初のヒントは、 が群 K1(k) であることである。テンソル積をとり、エタールコホモロジーを適用すると、写像 を拡張する写像

を得る。

これらの写像は、 のすべての元 a に対し、 が 0 となるという性質を持つ。これはミルナーのK-理論の定義関係式である。特に、ミルナーK-理論は、次の環の次数付き部分であると定義される。

ここに、乗法群 k×テンソル代数であり、商は の形をしたすべての元で生成される両側イデアルで割って得られる。従って、写像 は、写像

を通して、分解する。この写像はガロア記号(Galois symbol)、あるいはノルム剰余(norm residue)写像と呼ばれる[10][11][12]。mod-ℓ 係数のエタールコホモロジーは ℓ-トーション群であるので、この写像はさらに を通して分解する。

ノルム剰余同型定理(もしくは、ブロッホ・加藤の予想)は、体 kk で可逆な整数 ℓ に対し、ミルナーのK-理論から mod-ℓ エタールコホモロジーへのノルム剰余写像

は同型であるという定理である。ℓ = 2 の場合がミルナー予想であり、n = 2 がメルクリエフ・サスリンの定理(Merkurjev–Suslin theorem)である[12][13]

歴史[編集]

体のエタールコホモロジーは、ガロアコホモロジーに同一視できるので、この予想は、 k のミルナーのK-群の ℓ 番目の乗法的余捩れ(cotorsion)( ℓ-可除元全体の部分群による商)が1の ℓ-乗根のガロア加群に係数を持つ kガロアコホモロジーに等しいであろうという予想である。予想のポイントは、ミルナーのK-群には成立することが容易に分かるが、ガロアコホモロジーで成立するか直ちに分からない性質、あるいはその逆の性質があることである。ノルム剰余同型定理は、同型の片側の対象に適用可能なテクニックを,もう一方の側の対象へ適用することを可能にする。

n が 0 である場合は自明であり、n = 1 の場合は容易にヒルベルトの定理90から従う。n = 2ℓ = 2 の場合は、(Merkurjev 1981) で証明された。重要な前進は n = 2 で ℓ が任意の場合である。この場合は、(Merkurjev & Suslin 1982) で証明され、メルクリエフ・サスリンの定理(Merkurjev–Suslin theorem)として知られている。後日、メルクリエフ(Merkurjev)とサスリン(Suslin)と、それとは独立にロスト(Rost)は、n = 3ℓ = 2 の場合に証明した。(Merkurjev & Suslin 1991) (Rost 1986).

名称「ノルム剰余」は、元来、ヒルベルト記号 に起源を持ち、この記号は kブラウアー群に値を持つ(体がすべての1の ℓ-乗根を持つとき)。ここでの使い方は、標準の局所類体論の類似で、「高次」類体論の一部であると期待されている(未だ未開発であるが)。

ノルム剰余同型定理は、キレン・リヒテンバウム予想英語版を含んでいる。この予想は、ベイリンソン・リヒテンバウム予想と、かつては呼ばれていた。

ベイリンソン・リヒテンバウム予想[編集]

X を含む体の上の滑らかな多様体とする。ベイリンソン(Beilinson)とリヒテンバウム(Lichtenbaum)は、モチーヴィックコホモロジー英語版(motivic cohomology)群 は、pq のとき、エタールコホモロジー と同型であろうと予想した。この予想は、現在は証明され、ノルム剰余同型定理と同値である。

証明の歴史[編集]

現在、この予想の証明の出発点は、Lichtenbaum (1983)Beilinson (1987) による一連の予想にある。彼らは、モチーフ的複体(motivic complexes)、つまり、モチーヴィックコホモロジー英語版(motivic cohomology)にコホモロジーが関連する層の複体が存在することを予想した。これらの複体の予想される性質の中で、

  1. ミルナーのK-理論と,この複体のザリスキーコホモロジーとを関連づける性質、
  2. 1の巾根の層に係数を持つコホモロジーと,この複体のエタールコホモロジーとを関連づける性質、
  3. この複体のエタールコホモロジーとザリスキーコホモロジーとを関連づける性質、

の 3つの性質が重要である。非常に特別な場合に,これらはノルム剰余写像が同型になることを導く.証明の本質的な特徴は、「ウェイト」(予想にあるコホモロジー群の次元に等しい)を導出することにあり、導出の段階では、単にブロッホ・加藤の予想のステートメントだけではなく、ベイリンソン・リヒテンバウム予想の大半を含むような一般的なステートメントが解明されることも要求される。また、証明の中で、既に証明されたステートメントの導出段階を証明するため、より強いステートメントとにすることも必要となる。このときに、強化されたステートメントは、新しい数学の非常に大きな発展が必要であった。

ミルナー予想の最初の証明は、1995年のウラジーミル・ヴォエヴォドスキー(Vladimir Voevodsky)のプレプリント[4] にあり、モラヴァのK-理論英語版(Morava K-theory)の代数的類似というアイデアに動機を持っている(この代数的モラヴァのK-理論は、後日、シモーネ・ボルゲーシ(Simone Borghesi)[14]) により構成された)。1996年のプレプリントで、ヴォエヴォドスキーはモラヴァのK-理論の代数的類似の代わりに,代数的コボルディズム英語版(algebraic cobordism)を導入し、当時は証明されていないそれらの性質(後日これらの性質は証明された)を使うことで、モラヴァの K-理論を素描から取り去ることを可能とした。1995年と1996年のプレプリントの構成は正しいことが知られているが、最初のミルナー予想の完全な証明はいくらか異なる枠組みを使っている。

ブロッホ・加藤の予想の全証明が出てくる枠組みもある。この証明は、1996年のプレプリントの後、数ヶ月後にウラジーミル・ヴォエヴォドスキーが考え出した。この枠組みを実現することは、特別な一連の性質を持つ代数多様体を作る方法を見つけることと同時に、モチーヴィックホモトピー理論英語版(motivic homotopy theory)の分野での本質的な前進が必要とされた。モチーヴィックホモトピー理論からの証明には、次の性質が必要である。

  1. スパニエル・ホワイトヘッド双対性英語版(Spanier-Whitehead duality)の基本事項のモチーフ的な類似の構成。滑らかな射影代数多様体上のモチーフ的法バンドルのトム空間英語版(Thom space)へのモチーフ的球面からの射であるモチーフ的基本類の形。
  2. スティンロッド代数英語版(Steenrod algebra)のモチーフ的類似の構成。
  3. 標数 0 の体上でのモチーフ的スティンロッド代数英語版(motivic Steenrod algebra)が、モチーフコホモロジーのすべての二重安定なコホモとジー作用素を特徴付ける命題の証明。

最初の 2つの構成は、2003年にウラジーミル・ヴォエヴォドスキーにより開発され、1980年代終わりには得られていた結果を合わせ、ミルナー予想を再証明するには充分であった。

2003年には、またもや、ヴォエヴォドスキーがウェブ上に、一般的な定理の証明をほぼ含んだものプレプリントを公開した。このプレプリントは元々の 3つのスキームに従うものであったが、3つのステートメントを誤っていた。これらのステートメントのうち 2つは、モチーフ的スティンロッド代数の性質に関連していて、上記の 3つの事実を必要としていたが、3番目は「ノルム多様体」に関する知られていない性質を必要とした。これらの多様体が1997年のヴォエヴォドスキーが既に定式化していた必要とされる性質と多様体自体は、1998年から2003年にマーカス・ロスト(Markus Rost)により構成されていた。必要となる性質の彼らの証明は、2006年にアンドレイ・サスリン英語版(Andrei Suslin)とセヴァ・ジョウコヴィツキー英語版(Seva Joukhovitski)により完成された。

上の第三の性質は、モチーフ的ホモトピー論での新しいテクニックの開発が必要であった。目標は、極限あるいは余極限との交換関係を前提としない函手がある形式の対象の間の弱同値を保存することの証明であった。主要な困難のひとつは、弱同値の研究の標準的アプローチがブースフィールド・キレン分解とモデル圏(model category)構造を基礎としていて、それでは不十分であることであった。他の方法が開発される必要があり、この仕事はヴォエヴォドスキーにより2008年に完成された。

これらのテクニックの開発の道筋では、ヴォエヴォドスキーの2003年の証明なしで使われている第一のステートメントが誤りであることが判明した。証明はステートメントの正しい形に調整する小さな変更が必要であった。ヴォエヴォドスキーはモチーフ的アイレンベルグ・マックレーン空間英語版(Eilenberg-MacLane space)に関する主定理の証明の最終的詳細の仕事をやり続け、チャールズ・ウェイベル英語版(Charles Weibel)は、変形すべき証明を正しくするアプローチを考案した。ウェイベルは2009年にも彼の開発した修正とヴォエヴォドスキーの構成をまとめる論文を出版した。

脚注[編集]

  1. ^ ノルム剰余とは、環の元がより大きな環の元のノルムとなっている場合を記述する函数であり、ヒルベルト記号英語版(Hilbert symbol)、大域アルティン記号英語版(global Artin symbol)、局所アルティン記号英語版(local Artin symbol)、本記事で扱うミルナーのK-理論上に定義されガロアコホモロジーに値をもつガロア記号(Galois symbol)がある。
  2. ^ Milnor(1970)
  3. ^ Bloch and Kato(1986) p.118
  4. ^ a b Voevodsky(1995)
  5. ^ Voevodsky(1996)
  6. ^ Voevodsky(2001)
  7. ^ Voevodsky(2003b)
  8. ^ Voevodsky(2008)
  9. ^ Voevodsky(2010)
  10. ^ Srinivas (1996) p.146
  11. ^ Gille & Szamuely (2006) p.108
  12. ^ a b Efrat (2006) p.221
  13. ^ Srinivas (1996) pp.145-193
  14. ^ Borghesi(2000)/

参考文献[編集]