ベクトル解析の公式の一覧

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ベクトル解析の公式の一覧(ベクトルかいせきのこうしきのいちらん)では、3次元空間におけるベクトル解析の公式の一覧を与える。

内積と外積[編集]

ここで , , は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る。レヴィ=チヴィタ記号, がなす角である。

内積[1]

外積[1]

スカラー三重積[2][3]

ベクトル三重積[4][3]

ヤコビ恒等式[3]

四重積[3]

微分公式[編集]

ここで , は任意のベクトル場, は任意のスカラー場である。[3]

ヘルムホルツ分解[3]

積分公式[編集]

ここで , , は任意のベクトル場, , は任意のスカラー場である。また, は空間領域, はその境界, は面, はその法線ベクトル ( の場合 は外向きに取る), は面要素ベクトルである。閉曲線 に関する線積分 は法線 に対応する向きとする。

ガウスの発散定理および関連する公式[3](最後の等式はグリーンの定理である)

ストークスの定理および関連する公式[3]

曲線座標[編集]

曲線座標における勾配発散回転ラプラシアン物質微分の公式。

円柱座標[編集]

円柱座標 と直交座標 の変換[5]

単位基底ベクトル[5]

計量[6]

体積要素[6]

勾配[6]

発散[6]

回転[6]

ラプラシアン (スカラー場)[6]

ラプラシアン (ベクトル場)[6]

物質微分[7]

球座標[編集]

球座標 と直交座標 の変換[5]

単位基底ベクトル[5]

計量[8]

体積要素[8]

勾配[8]

発散[8]

回転[8]

ラプラシアン (スカラー場)[8]

ラプラシアン (ベクトル場)[9]

物質微分[7]

直交曲線座標[編集]

3次元ユークリッド空間 の曲線座標 について、その座標系で計量が

という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ[10]。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを とする。

体積要素[11]

勾配[11]

発散[11]

回転[11]

ラプラシアン (スカラー場)[11]

物質微分[7]

脚注[編集]

  1. ^ a b ベクトル・テンソル解析”. 2020年11月27日閲覧。
  2. ^ Richard Fitzpatrick. “Scalar Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
  3. ^ a b c d e f g h 電磁気学に用いるベクトル公式集”. 2020年11月27日閲覧。
  4. ^ Richard Fitzpatrick. “Vector Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
  5. ^ a b c d 座標系・ベクトルの復習”. 2020年11月27日閲覧。
  6. ^ a b c d e f g Richard Fitzpatrick. “Cylindrical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
  7. ^ a b c Convective Operator”. Wolfram MathWorld. 2021年4月21日閲覧。
  8. ^ a b c d e f Richard Fitzpatrick. “Spherical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
  9. ^ Vector differential operators”. p. 252. 2021年4月21日閲覧。
  10. ^ 河合佑太. “物理数学補足ノート(直交曲線座標)”. 2020年11月27日閲覧。
  11. ^ a b c d e Richard Fitzpatrick. “Orthogonal Curvilinear Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。