ベッセルの不等式

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数学の、特に函数解析学の分野におけるベッセルの不等式(ベッセルのふとうしき、: Bessel's inequality)は、正規直交についてのヒルベルト空間のある元 x の係数に関する不等式である・

H をヒルベルト空間とし、e_1, e_2, ...H 内の正規直交列とする。このとき、H 内の任意の x に対し

\sum_{k=1}^{\infty}\left\vert\left\langle x,e_k\right\rangle \right\vert^2 \le \left\Vert x\right\Vert^2

が成立する。ここで 〈•,•〉 はヒルベルト空間 H内積を表す。

e_k 方向のベクトル x の無限和

x' = \sum_{k=1}^{\infty}\left\langle x,e_k\right\rangle e_k,

を定義すると、ベッセルの不等式よりこの級数収束する。基底 e_1, e_2, ... によって表現される x' \in H が存在するものと考えることが出来る。

完全正規直交列(すなわち、基底であるような正規直交列)に対しては、不等号が等号に置き換えられたパーセヴァルの等式が成り立つ(したがって  x' x となる)。

ベッセルの不等式は、任意の自然数 n に対して成り立つ次の関係式より従う:

0 \le \left\| x - \sum_{k=1}^n \langle x, e_k \rangle e_k\right\|^2 = \|x\|^2 - 2 \sum_{k=1}^n |\langle x, e_k \rangle |^2 + \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2 = \|x\|^2 - \sum_{k=1}^n | \langle x, e_k \rangle |^2.

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