ベータ関数

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数学において、ベータ関数（ベータかんすう、英: beta function）とは、ルシャンドルの定義に従って第一種オイラー積分とも呼ばれる特殊関数である。

定義[編集]

${\displaystyle \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}$を満たす複素数 x, y に対して、

と定義される関数をベータ関数と呼ぶ。

性質[編集]

対称性

ベータ関数は次のような対称性を持つ。

関数等式

ベータ関数は次の関係式を満たす。

• ${\displaystyle x\mathrm {\mathrm {B} } (x,y+1)=y\mathrm {\mathrm {B} } (x+1,y).\!}$

• ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\mathrm {\mathrm {B} } (x+1,y)+\mathrm {\mathrm {B} } (x,y+1).\!}$

• ${\displaystyle (x+y)\mathrm {\mathrm {B} } (x,y+1)=y\mathrm {\mathrm {B} } (x,y).\!}$

積分表示

変数変換を行うことで、以下の形にも表示できる。いずれも定義域は${\displaystyle \Re (x)>0,\ \Re (y)>0}$である。

• ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta \!}$

• ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt\!}$

• ${\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)={\frac {1}{2^{x+y-1}}}\int _{-1}^{1}(1+t)^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}$

ポッホハマーの表示

${\displaystyle \log(\zeta (\zeta -1))}$のリーマン面上の積分路として、実軸上の (0,1) 内の点から出発し、1を正の向きに、0を正の向きに、1を負の向きに、0を負の向きの順で回って、元の点に戻るポッホハマーの積分路（英語版）を取れば、次のポッホハマーの表示が成り立つ。

ガンマ関数との関係

ベータ関数は、次のようにガンマ関数と結び付く。

級数表示

但し、${\displaystyle x^{\underline {n}}}$は下降階乗冪

である。

特殊値

x = y = 1/2 のとき、以下が成り立つ。

正の整数 l, m に対して、以下が成り立つ。

参考文献[編集]

• E. T. Whittaker and G. N. Watson, A Course of Modern Analysis. Cambridge University Press 1927.

関連項目[編集]

• 二項係数
• オイラー積分
• ガンマ関数
• 不完全ベータ関数
• ベータ分布
• ガンマ分布

外部リンク[編集]

• ベータ関数の計算