ボーアの原子模型

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ボーアの原子模型(ボーアのげんしもけい、: Bohr's model)とは、ラザフォードの原子模型[注 1]のもつ物理学的矛盾を解消するために考案された原子模型である。この模型は、水素原子に関する実験結果を見事に説明し、量子力学の先駆け(前期量子論)となった。

その後のシュレーディンガーによる波動関数の導入とボルンによる確率解釈によって、この模型の「電子が軌道運動をする」という点は誤りであることがわかった。

概要[編集]

従来の古典電磁気学では粒子が円運動をすると、その回転数に等しい振動数電磁波を放射しエネルギーを失ってしまう。そのため正の電荷を帯びた原子核の周りを負の電荷を持った電子が同心円状の軌道を周回しているという太陽系型原子模型や土星型原子模型では、電子はエネルギーを失って原子核に引き寄せられてしまうはずであった。一方で、分光学における原子の発光スペクトルの研究により、原子の発する光は特定の複数の振動数のみに限られ、各振動数の間には一定の法則(リッツの結合法則)が成り立つことが知られていた。上述のような不安定な電子は、連続的な振動数を放射し、古典的な描像では説明ができない。

それらを解消するため、1913年にコペンハーゲン大学ニールス・ボーアは「原子および分子の構成について」という3部作の論文の第1論文[1]の中で、次のような仮説に基づく、新たな原子模型を提示した。

  • 電子は特定の離散的なエネルギー状態(エネルギー準位)に属し、対応する軌道を運動する。この状態を定常状態という。定常状態では、電子は電磁波を放出することなく、古典力学にしたがって運動する。
  • エネルギー準位と対応する軌道は、古典的に可能なものから、量子条件が満たされるもののみが選択される。
  • 電子はある定常状態から別の定常状態へ、突然、移行する。これを状態の遷移という。そのときに放射(吸収)される光の振動数は振動数条件を満たす。

ボーアの示した模型は、なぜ円運動する電子がエネルギーを失わないか、という点を説明するものではないが、ボーアの量子条件という大胆な仮説によりそれを一旦棚上げして、スペクトルの法則性に合致した説明を与えるものであった。

量子条件と振動数条件[編集]

量子条件[編集]

ボーアの量子条件と振動数条件

原子内の電子は、原子核との間にはたらくクーロン力を向心力とする等速円運動を行うが、電子は次の条件を満たす円軌道のみをとることができ、この条件を満たす円軌道上では電子は電磁波を放出せず、永続的に円運動を行うことができる。

ここで、me は電子の質量、v は電子の速さ、hプランク定数であり、自然数 n量子数という。この条件は量子条件といい、この条件を満たす状態を定常状態、定常状態における電子のエネルギーをエネルギー準位という。

上述の条件は、角運動量が の自然数倍のみの値をとることを意味しており、角運動量の量子化を表している。

振動数条件[編集]

また、1個の電子が量子数nの定常状態から量子数n'の定常状態に移るとき、そのエネルギー準位の差のエネルギーを、1個の光子として吸収または放出する。すなわち、量子数nにおけるエネルギー準位および量子数n'におけるエネルギー準位をそれぞれ 、とすると

ここで、は光子の振動数であり

のときは光子を吸収し、

のときは光子を放出する。これを振動数条件という。

量子条件の解釈[編集]

この量子条件に、1924年にルイ・ド・ブロイによって提唱されたド・ブロイ波の式を導入することによって、量子条件のもつ意味がより明瞭になる。ド・ブロイ波の理論では粒子に波動としての性質をみとめ、その波長は粒子の運動量 p を用いて

と表される。これを量子条件に導入すると

すなわち、電子を物質波としてみた場合、電子の軌道は電子の物質波としての波長の整数倍になることを示している。電子が波として軌道を一周したときに位相がもとの位相と重なればその波は定常波として永続的に残ることになる。つまりボーアの量子条件は電子が波としてふるまっていること(粒子と波動の二重性)を示唆しているのである。

水素原子の輝線スペクトル[編集]

ボーアの原子模型は水素原子の輝線スペクトルに関する実験結果を説明することができる。

水素原子は陽子と電子で構成される2体系であるが、陽子の質量は電子に比較して圧倒的に大きいため、陽子は原点に固定されているものとして取り扱う。 水素原子中において、電子はクーロンポテンシャル

の下で運動する。定常状態にある電子は、仮定により、古典力学に従って楕円軌道をとる。 定常状態における系のエネルギーを E とすれば、軌道長半径軌道周期

で表される。 電子の軌道が円軌道であるとき、電子の周回速度は

となる。

ボーアの量子条件より、量子数 n に対して

であり、対応するエネルギー準位が

と求められる。 この式から判るように、量子数 n が大きいほどエネルギー準位は高い。

ここで量子数 n から n' への定常状態の遷移を考える。n > n' とすると、エネルギー準位の高い状態から低い状態への遷移であり、このときに放出される光の周波数は、振動数条件より

である。放出される光の波長で表せば

となり、バルマー系列などの水素原子の輝線スペクトルの関係式と同じ形の式が得られる。 比例係数は

である。 物理定数から計算されるこの比例係数の値は、水素原子のスペクトルの観測から得られたリュードベリ定数と見事に一致し、ボーアの模型の正しさが実証された。

原子模型[編集]

水素原子の電子軌道 (イメージ図) 水素原子核は+1の電荷を持ち、電子の軌道はゆるやかに束縛されている。 ヘリウム原子の電子軌道 (イメージ図) 最も内側の軌道だけを示している。 フッ素原子の電子軌道 (イメージ図) フッ素原子はより多くの正の電荷を持ち、電子の軌道はより小さく、強く束縛されている。
水素原子の電子軌道
(イメージ図)

水素原子核は+1の電荷を持ち、電子の軌道はゆるやかに束縛されている。
ヘリウム原子の電子軌道
(イメージ図)

最も内側の軌道だけを示している。
フッ素原子の電子軌道
(イメージ図)

フッ素原子はより多くの正の電荷を持ち、電子の軌道はより小さく、強く束縛されている。

既に見たようにボーアの原子模型において、量子数 n に対応して電子のエネルギーが離散化される。量子数 n = 1 に対応する定常状態が最もエネルギーが低く安定した状態であり、この状態を基底状態と呼ぶ。基底状態よりエネルギーの高い量子数 n ≥ 2 に対応する定常状態を励起状態と呼ぶ。基底状態から励起状態へ移ることを励起という。

また、量子数 n に対応する電子の軌道半径は

となる。ボーアの原子模型においてはエネルギーだけでなく軌道半径も離散化され、基底状態で最も軌道半径が小さく、高いエネルギー準位へ励起されるに従って軌道半径は大きくなる。基底状態における軌道半径は特にボーア半径と呼ばれ

である。

軌道周期と周回速度はそれぞれ

となる。

イオン化エネルギー[編集]

量子数 n → ∞ の極限を考えると

である。電子の軌道半径が無限大の状態とは、電子が束縛を逃れた状態であり、すなわちイオン化された状態である。水素原子の第一イオン化エネルギーは基底状態から量子数 n → ∞ の状態への遷移エネルギーであり

となる。

水素以外の原子の軌道[編集]

水素のほかにも原子番号 Z の原子についてボーアの原子模型を用いると、クーロンポテンシャルを

と置き換えることに相当する。 これによって原子中の電子のエネルギーは Z2 倍に軌道半径は Z−1 倍になる。

このように原子の種類によって、特有の電子軌道のパターンができる[2]

脚注[編集]

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注釈[編集]

  1. ^ 長岡半太郎の原子模型を発展させたものであるといわれる。

出典[編集]

参考文献[編集]

関連項目[編集]

関連人物[編集]