ボールウェイン積分

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』

移動先: 案内検索

数学において、ボールウェイン積分は関数 sinc(ax) の積の積分である。ただし、ここでsinc(x)はsinc関数であり、0でないxに対しては sinc(x)=sin(x)/xとし、sinc(0)=1と定める[1][2]。これらの積分は、わかりやすいパターンを示すかと思いきや、やがてそれが崩れることで知られる。たとえば、以下のとおりである。


\begin{align}
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x} \, dx=\pi/2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3} \, dx = \pi/2 \\[10pt]
& \int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\frac{\sin(x/5)}{x/5} \, dx = \pi/2
\end{align}

このパターンは、次まで続く。

\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/13)}{x/13} \, dx = \pi/2

ところが、次のステップではこのパターンが崩れてしまう。


\begin{align}
\int_0^\infty \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/15)}{x/15} \, dx
 &= \frac{467807924713440738696537864469}{935615849440640907310521750000}\pi \\
 &= \frac{\pi}{2} - \frac{6879714958723010531}{935615849440640907310521750000}\pi \\
 &\simeq \frac{\pi}{2} - 2.31\times 10^{-11}
\end{align}

一般には、3,5,...という数に限らず、それらの数の逆数の和が1より小さい任意の実数たちを用いても、同様に積分値がπ/2となる。上の例では、1/3+1/5+...+1/13<1だが、1/3+1/5+...+1/15>1である。

より長い列の例を挙げる。

\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111} \, dx = \pi/2,

だが、

\int_0^\infty 2 \cos(x) \frac{\sin(x)}{x}\frac{\sin(x/3)}{x/3}\cdots\frac{\sin(x/111)}{x/111}\frac{\sin(x/113)}{x/113} \, dx < \pi/2,

である。これらの例とともに、このようなことが起こる理由の直観的な説明が[3]にある。

出典[編集]

  1. ^ Borwein, David; Borwein, Jonathan M. (2001), “Some remarkable properties of sinc and related integrals”, The Ramanujan Journal 5 (1): 73?89, doi:10.1023/A:1011497229317, ISSN 1382-4090, MR1829810 
  2. ^ Baillie, Robert (2011年). “Fun With Very Large Numbers”. arXiv:1105.3943v1 [math.NT]. 
  3. ^ Schmid, Hanspeter (2014), “Two curious integrals and a graphic proof”, Elemente der Mathematik 69 (1): 11–17, doi:10.4171/EM/239, ISSN 0013-6018, http://schmid-werren.ch/hanspeter/publications/2014elemath.pdf