マクスウェル分布

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マクスウェル分布
確率密度関数
Maxwell-Boltzmann distribution pdf.svg
累積分布関数
Maxwell-Boltzmann distribution cdf.svg
母数
確率密度関数
累積分布関数 erfは誤差関数
期待値
最頻値
分散
歪度
尖度
エントロピー
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マクスウェル分布(マクスウェルぶんぷ、: Maxwell distribution[1])とは、熱力学的平衡状態において、気体分子速度が従う分布関数である。マクスウェル=ボルツマン分布: Maxwell–Boltzmann distribution[1])と呼ばれることもある。気体分子運動論により導かれたが、より一般化されたボルツマン分布からも導かれる。最初に見いだしたイギリスの物理学者J.C.マクスウェルにちなんで名付けられた。

導出[編集]

気体分子運動論では、成分を vx, vy, vz とする速度ベクトル v について、x 方向の速度成分 vx の分布は、分子の質量を mボルツマン定数k絶対温度T、係数を A として

に従うことが知られており、この式は左右対称なつりがね状の正規分布になる。したがって、係数 A を求めるには vx に関して積分した値が1になれば良いので[2][3]

より、A = m / 2πkT となる。したがって、x 方向の速度成分 vx の分布は

となる[2][4]

また、x, y, z 方向の各速度の分布は互いに独立で、

が成り立つので、方向を指定しない3次元の速さ v の分布は

となる[2]。ここで、dvxdvydvz は半径 v で厚さ dv の球殻の体積に相当するので、4πv2dv となり[5][3]、またスカラー量である速さ v の大きさは v = v 2
x
 
+ v 2
y
 
+ v 2
z
 
なので、マクスウェル分布は

より

となる[6][5][4][3]

速度分布[編集]

25℃における希ガス中での分子の速さの分布をプロットした図

分子の質量が大きく温度が低いほど分布は密になり、分子の質量が小さく温度が高いほど分布は疎になる。

導かれる速度[編集]

マクスウェル分布からは3種類の速度が導出される。

まず1つ目の速度が英語で"The most probable speed"と呼ばれる速度で、日本語では「最大確率速度[3]」や「最確速度[5][7]」などと呼ばれるものであり、記号で vmp と表される。これは、マクスウェル分布の最頻値であり、グラフのピークを求めれば良いので[5]

より[8]

となる[5][8][9]

次に求められる速度が平均速度 v である。これはマクスウェル分布の期待値なので

となる[5][8][9]

最後に求められる速度が根二乗平均速度 vrms である。これはマクスウェル分布のモーメントなので

となる[8]

また、これら3つの速度の比は

と表される[9]

脚注[編集]

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出典

参考文献[編集]

  • 学術用語集 物理学編』 文部省日本物理学会編、培風館、1990年9月、増訂版。全国書誌番号:90057219ISBN 4-563-02195-4。NCID BN05183934OCLC 23241821ASIN 4563021954
  • P. W. Atkins 「1.3. 気体の運動論モデル」『アトキンス物理化学』上巻、千原秀昭・中村亘男訳、東京化学同人、2001年1月30日、第6版。全国書誌番号:20141197ISBN 4-8079-0529-5。NCID BA50699995OCLC 834997205ASIN 4807905295
  • Raymond Chang 「3.4. マクスウェル分布則」『化学・生命科学系のための物理化学』 岩澤康裕・北川禎三・濱口宏夫訳、東京化学同人、2003年1月10日。全国書誌番号:20370378ISBN 978-4-8079-0563-8。NCID BA60479780OCLC 676444896ASIN 4807905635
  • 卜部和夫、川泉文男、平澤政廣、松井恒雄 「1.3. 気体分子運動論」『理工系学生のための化学基礎』 野村浩康・川泉文男(編)、学術図書出版社、2013年10月31日、第6版。全国書誌番号:22331758ISBN 978-4-7806-0351-4。NCID BB13985110OCLC 867490860ASIN 478060351X

関連項目[編集]