モデル圏

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数学、特にホモトピー論において、モデル圏とは「弱同値」、「ファイブレーション」そして「コファイブレーション」と呼ばれる射のクラスを備えた圏のことである。これらは従来の位相空間の圏や、鎖複体の圏のホモトピー圏などから抽象化されたものである。この概念は Daniel G. Quillen (1967) によって導入された。

近年においては、モデル圏の言語は一部の代数的K理論や代数幾何において、ホモトピー論的アプローチによって深い結果を得るための使用されている。

動機[編集]

モデル圏はホモトピー論においての自然な設定を提供する: 通常のホモトピー構造を備えた位相空間の圏はモデル圏である。同様に、空間として捉えうる対象は、単体的集合の圏のように、しばしばモデル構造を持つ。

上と異なるモデル圏として、可換環RについてR-加群のなす鎖複体の圏がある。この文脈において、ホモトピー論はホモロジー代数となる。ホモロジーはホモトピーのある種の形として理解することができ、また群やR-代数といった対象へホモロジー論を一般化することは、理論の一つの重要な応用となる。上記のホモロジー論の解釈のために、閉モデル圏についての探求はしばしばホモトピー代数として理解される。