ヤコビ多様体

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数学において、種数 g の非特異代数曲線 Cヤコビ多様体 (Jacobian variety) J(C) とは、次数が 0 の直線束モジュライ空間を言う。ヤコビ多様体は、Cピカール群の単位元の連結成分であり、従って、アーベル多様体である。

はじめに[編集]

ヤコビ多様体の名称は、アーベル・ヤコビの定理を完全に証明しニールス・アーベル(Niels Abel)の単射性のステートメントを同型写像にしたカール・グスタフ・ヤコビ(Carl Gustav Jacobi)の名前にちなんでいる。ヤコビ多様体は、次元 g の主偏極アーベル多様体であり、従って、複素数体上では複素トーラス英語版(complex torus)である。p が C 上の点であれば、C は J の単位元へ写像される与えられた点 p を持つ J の部分多様体へ写像することができ、C は J をとして生成する。

複素曲線の構成[編集]

複素数体上では、ヤコビ多様体は、商空間 V/L として実現される。ここに V は、C 上の全大域的正則微分形式のベクトル空間の双対であり、L は、γ を C の中の閉じた経路英語版(path)としたときの微分形式


\omega \mapsto \int_{\gamma} \omega

のすべての元で構成される格子である。言い換えると、上の写像を通して H_1(C)H^0(\Omega_C^1)^* へ埋め込んで


J(C) = H^0(\Omega_C^1)^* / H_1(C),

である。

任意の体上の曲線のヤコビ多様体は、Weil (1948)により、有限体上の曲線のリーマン予想の証明の一部として構成された。

アーベル・ヤコビの定理は、トーラスはこのように多様体であるが、曲線の古典的ヤコビ多様体で、次数 0 のラインバンドルをパラメトライズする、つまり、線型同値を同一視した次数 0 の因子のピカール多様体と同一視することができる。

発展した話題[編集]

トレリの定理英語版(Torelli's theorem)は、複素曲線が(偏極をもった)ヤコビ多様体により決定することを言っている。

ショットキー問題英語版(Schottky problem)は、どのような偏極を持つアーベル多様体が曲線のヤコビ多様体であるかを問うている。

ピカール多様体アルバネーゼ多様体や、中間ヤコビ多様体英語版(intermediate Jacobian)は、高次元の多様体へのヤコビ多様体の一般化である。高次元の多様体に対し、正則 1-形式の空間の商空間としてのヤコビ多様体の構成はアルバネーゼ多様体として一般化できる。しかし、高次元ではピカール多様体と同型になるとは限らない。

参考文献[編集]