リースポテンシャル

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数学におけるリースポテンシャル: Riesz potential)とは、その発見者であるハンガリー数学者マルツェル・リースの名にちなむ、あるポテンシャルのことを言う。リースポテンシャルは、ユークリッド空間上のラプラス作用素の冪に対する逆を、ある意味において定義するものである。一変数のリーマン=リウヴィル積分英語版は複数変数へと一般化される。

0 < α < n であるとき、Rn 上の局所可積分函数 f のリースポテンシャル Iαf は、次式で定義される。

(I_{\alpha}f) (x)= \frac{1}{c_\alpha} \int_{{\mathbb{R}}^n} \frac{f(y)}{| x - y |^{n-\alpha}} \, \mathrm{d}y.

 

 

 

 

(1)

ただしこの定数は次で与えられる。

c_\alpha = \pi^{n/2}2^\alpha\frac{\Gamma(\alpha/2)}{\Gamma((n-\alpha)/2)}.

この特異積分英語版は、f が無限大において十分急速に減衰する場合、well-defined となる。特に 1 ≤ p < n/α に対して f ∈ Lp(Rn)であるときに、well-defined となる。p > 1 であるなら、f の減衰率と Iαf の減衰率は不等式(ハーディ=リトルウッド=ソボレフ不等式英語版

\|I_\alpha f\|_{p^*} \le C_p \|f\|_p,\quad p^*=\frac{np}{n-\alpha p}

によって関連付けられる。より一般に作用素 Iα は、0 < Re α < n を満たす複素数 α に対して well-defined である。

リースポテンシャルは、次の畳み込みとして、より一般に弱い意味で定義することが出来る:

I_\alpha f = f*K_\alpha. \,

ここで Kα は局所可積分函数

K_\alpha(x) = \frac{1}{c_\alpha}\frac{1}{|x|^{n-\alpha}}

である。したがってリースポテンシャルは、f がコンパクトな台を持つ超函数である時はいつでも定義される。この点に関し、コンパクトな台を持つある正のボレル測度 μ のリースポテンシャルは、Iαμ がその μ の台を除く(連続な)劣調和函数であり、Rn 全体で下半連続であることから、ポテンシャル論における主要な興味を集めるものとなっている。

フーリエ変換を考えることで、リースポテンシャルはフーリエ乗数英語版であることが分かる。実際、

\widehat{K_\alpha}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha}

であるので、畳み込み定理より

\widehat{I_\alpha f}(\xi) = |2\pi\xi|^{-\alpha} \hat{f}(\xi)

が得られる。

リースポテンシャルは、例えば急減少函数に対し、次の半群性を満たす:

I_\alpha I_\beta = I_{\alpha+\beta}.\

ただし

0 < \operatorname{Re\,} \alpha, \operatorname{Re\,} \beta < n,\quad 0 < \operatorname{Re\,} (\alpha+\beta) < n

が満たされているものとする。さらに、2 < Re α <n であるなら

\Delta I_{\alpha+2} = -I_\alpha \

が成立する。また、この函数のクラスに対しては

\lim_{\alpha\to 0^+} (I^\alpha f)(x) = f(x)

が成立する。

関連項目[編集]

参考文献[編集]