リーマンゼータ函数

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複素数平面におけるリーマンのゼータ関数。点 s における色が ζ(s) の値を表しており、濃いほど 0 に近い。色調はその値の偏角を表しており、例えば正の実数は赤である。s = 1 における白い点はであり、実軸の負の部分および臨界線 Re(s) = 1/2 上の黒い点は零点である。

ゼータ関数(ぜーたかんすう、zeta function)とは、狭義にはリーマンのゼータと呼ばれる

 \zeta (s) = \sum^{\infin}_{n=1} { 1 \over {n^s}}

で表される関数のことをいう。 また、ガンマ関数を用いれば、

 \zeta (s) = \frac{1}{\Gamma (s)}\int_0^\infty \frac{u^{s-1}}{e^u-1}du

とも定義できる。

すでにオイラーが考察して重要な発見をしていたが、ギリシャ文字のζで表したのはリーマンが最初であり、このことからリーマン・ゼータ関数(Riemann zeta function)と呼ぶ。上記級数は s が 1 より大きい実部をもつ複素数のときのみ収束するが、解析接続によって複素数平面の全域で定義された有理型関数となる。素数分布の研究において極めて重要な関数である。

目次

ゼータ関数の特殊値

いくつかの s については ζ(s) の値はよく知られている。特に、

 \zeta (2) = \sum^{\infin}_{n=1} { 1 \over {n^2}} = { \pi^2 \over 6 }  (→バーゼル問題
 \zeta (4) = \sum^{\infin}_{n=1} { 1 \over {n^4}} = { \pi^4 \over 90 }
 \zeta (6) = \sum^{\infin}_{n=1} { 1 \over {n^6}} = { \pi^6 \over 945 }

などである。実際、s が正の偶数、負の奇数のときのゼータの値はすでにオイラーが公式を発見した。s が負の偶数であれば ζ(s) = 0 である。これをリーマン・ゼータ関数の自明な零点とよぶ(算出はフーリエ級数参照)。

しかし未だに、たとえば s が正の奇数のときの ζ(s) の値はよくわかっていない。それでもラマヌジャンなどは次のような表示式を得ている。

 \zeta(2n+1)=2^{2n}\pi^{2n+1}\sum^{n+1}_{k=0}(-1)^{k+1}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\frac{B_{2n+2-2k}}{(2n+2-2k)!}-2\sum^{\infin}_{k=1}\frac{k^{-2n-1}}{e^{2\pi k}-1}

ここで、Bnベルヌーイ数である。

ただし、s = 3 の場合に限り、次のような表示式が知られている。

\frac{\pi^2}{7} \left( 1-4\sum_{k=1}^\infty \frac {\zeta (2k)} {(2k+1)(2k+2) 2^{2k}} \right)

これを、アペリーの定数と呼ぶ。

オイラー積

素数との関連はオイラーによって示された。すべての素数 p を亘る無限積として(リーマン)ゼータ関数は

 \zeta(s) = \prod_{p} \frac {1}{1-p^{-s}}

という表示を持つ。これをオイラー積あるいはオイラー表示という。このような表示が出来ることは、幾何級数(等比級数)の公式

\frac{1}{1-p^{-s}} = \sum_{n=0}^{\infty} (p^{-s})^n = 1 + p^{-s} + p^{-2s} + \cdots

が絶対収束すること(特に有限和のように分配法則が成り立つこと)に注意して、十分に大きな素数 p' を固定し、それ以下の素数 p にを亘る有限積をつくり、その p' → ∞ とした極限を考えることで示すことが出来る。実際に、この有限積の展開には自然数 n素因数分解に現れる最大の素因数が p' であれば、そこまでの有限積の中に n が含まれる。

ゼータ関数の表示と関数等式

ゼータ関数は次のような表示ももつ:

\zeta(s)=\exp\left(\frac{\gamma +\log \pi}{2}s-\log 2\right) \frac{1}{s-1} \prod_{\rho}\left(1-\frac{s}{\rho}\right) \prod^{\infin}_{n=1}\left(1+ \frac{s}{2n}\right)e^{-{s/2n}}

ここで ρ に関する積はリーマン・ゼータ関数の複素零点全体をわたるものとする。この式から、

\zeta(s)-\frac{1}{s-1}

整関数であることがわかる。実際

\zeta(s)-\frac{1}{s-1}=\gamma-\gamma_{1}(s-1)+\gamma_{2}(s-1)^{2}-...

ここで γ はオイラーの定数、γi はスティルチェスの定数と呼ばれているものである。

またゼータ関数は s と 1 - s に関する対称的な関数等式をもつ。便宜上次の ξ を導入する:

\xi(s)=\pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)

すると、

ξ(s) = ξ(1 − s)

が成り立つ。

ゼータ関数と数論的関数

ゼータ関数を適当に組み合わせることにより、様々な数論的関数を係数とするディリクレ級数の母関数を得ることができる。ほんの一例を紹介しよう。

たとえば、ゼータ関数の逆数メビウス関数 μ(n) を用いて

 \frac {1}{\zeta (s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {\mu (n)}{n^s}

と表せる。この式と ζ(2) の値から、分布が一様であるという仮定のもと、任意に取り出した二つの整数が互いに素である確率は 6/π2 であることが証明できる。

自然数 n の(正の)約数の個数を d(n), すべての約数の和を σ(n) で表すとき、

 {\zeta (s)}^2 = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {d (n)}{n^s}
 {\zeta (s)}{\zeta (s-1)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {\sigma (n)}{n^s}

が成り立ち、また、n と互いに素な n 以下の自然数の個数を オイラーのφ関数 φ(n)で表すとき、

 \frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {\varphi (n)}{n^s}

なども成り立つ。

ゼータ関数と素数の個数関数

素数分布との関連、すなわち素数の個数関数 π(x) とゼータ関数との関係を、形式的だが簡単な変形によって導出してみよう。

まずゼータ関数のオイラー積表示の両辺において対数をとり、テイラー展開で和の中の対数を展開する:

 \log \zeta(s) = \log \prod_{p} \frac {1}{1-p^{-s}} = \sum_{p} \log \frac {1}{1-p^{-s}} = \sum_p \sum_{n=1}^{\infin} \frac {1}{np^{ns}} = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {1}{n} \sum_p \frac {1}{p^{ns}}

ここで各 n ≥ 1 について

 \frac {1}{p^{ns}} = s \int^{\infin}_{p^n} x^{-s-1} dx

と変形して、先の式に代入すると

 \log \zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {1}{n} \sum_p \frac {1}{p^{ns}} = s \sum_{n=1}^{\infin} \frac {1}{n} \sum_p \int^{\infin}_{p^n} x^{-s-1} dx = s \sum_{n=1}^{\infin} {\frac {1}{n} \int^{\infin}_1 \pi (x^{1/n})} x^{-s-1} dx

通常

 \Pi (x) = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {1}{n} \pi (x^{1/n})

と置いて、最終的に上式は次のように書かれる。

 \frac {\log \zeta (s)}{s} = \int^{\infin}_{1} \Pi (x) x^{-s-1} dx

この公式に、メリン変換などと呼ばれる積分の反転公式を使うと、Π(x) を陽の形(explicit)に表示する公式を求めることができる。この公式は、リーマンの素数公式、あるいは明示公式(explicit formula)などと呼ばれている。なおメビウスの反転公式によって π(x) は

 \pi(x) = \sum_{n=1}^{\infin} \frac {\mu (n)}{n} \Pi (x^{1/n})

とかけることを注意しておこう。

ゼータ関数の零点の分布に関する未解決問題であるリーマン予想が、これらのことに密接に関係している。

その他のゼータ関数

  • セルバーグゼータ関数
  • フルヴィッツゼータ関数
  • 局所ゼータ関数
  • 合同ゼータ関数

参考文献

  • Harold M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Dover Publications, 2001. ISBN 0486417409
  • E. C. Titchmarsh, The Theory of the Riemann Zeta-Function, Oxford University Press: USA, 2nd ed. (rev. by D. R. Heath-Brown), 1987. ISBN 0198533691
  • 日本数学会 『岩波数学辞典(第3版)』 岩波書店、1985年。ISBN 4000800167
  • 松本耕二 『リーマンのゼータ関数』 朝倉書店、2005年。ISBN 4254117310

関連項目

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