ルーシェの定理

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ルーシェの定理 (: Théorème de Rouché: Rouché's theorem)は、フランスの数学者であるEugène Rouché (1832年-1920年) が1862年に発表した複素解析における定理であり、留数定理および偏角の原理と密接な関係がある。

定理の主張は、直観的にはやや意味がわかりにくいが、応用面ではかなり強力なツールであり、代数学の基本定理の証明もかなり簡単にできてしまう(後述)。

定理[編集]

複素平面(ガウス平面)のある単連結開集合(領域)、 をその境界 (ただし、連続曲線であるなど、十分に良い性質を持つものとする)、閉包 (= ) とし、 および 上で定数でない正則な複素関数で、上で、 を満たすとすれば、 内での 零点の個数 (ただし位数nの零点はn個として数える)は一致する。

証明[編集]

まず、

であることに注目する。 および で極を持たないので偏角の原理 から 内における零点の個数をnとすれば、

である。

ここで を、 で定義する。 上では という条件から、 上では であり、 および 上で正則であるから、 上で正則である。従って による の像を とすれば、 も (連続曲線であるなど) 十分に良い性質を持った曲線である。

上の式の右辺第2項の積分を考えれば、

である。結局この式の値は 上のある点を始点として に沿って一周した場合の増分になるが、 上では という条件から 上では は正であり、 分岐点である = 0 を一周しないので、その値は 0 である。従って、

が成り立ち、定理の主張のとおりとなる。

応用例[編集]

代数学の基本定理の証明[編集]

を最高次数の係数が 1 の任意の n 次複素数係数多項式とした場合、 が複素平面上で n 個の零点を持つことを証明する。

を正の実数とし、 と置く。また、

と置く。 を十分大きく取れば 上で が成立するので、 内における (= ) の零点の個数は一致し、 の形から明らかなように、その値は n となる。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • 遠木幸成・阪井章 『関数論』 学術図書出版社、1966年、82-83頁。
  • 松田哲 『複素関数』 岩波書店、1996年、110-111頁。