二重メルセンヌ数

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二重メルセンヌ数(にじゅうメルセンヌすう)は、数学において以下の形で表されるメルセンヌ数である。

pは素数)

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二重メルセンヌ数の最初の4項は以下の通り[1] オンライン整数列大辞典の数列 A077586:

二重メルセンヌ素数[編集]

二重メルセンヌ数であり、かつ素数である数は二重メルセンヌ素数と呼ばれる。メルセンヌ数 Mpp が素数である場合のみ素数となるため(証明はメルセンヌ数参照)、二重メルセンヌ素数 Mp それ自体がメルセンヌ素数となる場合のみ素数となる。Mp が素数となるpの最初の値において、p = 2, 3, 5, 7のときは素数となり、p = 13, 17, 19および31のときの の陽因数が見つかっている。

の素因数分解
2 3 素数 7
3 7 素数 127
5 31 素数 2147483647
7 127 素数 170141183460469231731687303715884105727
11 素数ではない 素数ではない 47 × 131009 × 178481 × 724639 × 2529391927 × 70676429054711 × 618970019642690137449562111 × ...
13 8191 素数ではない 338193759479 × 210206826754181103207028761697008013415622289 × ...
17 131071 素数ではない 231733529 × 64296354767 × ...
19 524287 素数ではない 62914441 × 5746991873407 × 2106734551102073202633922471 × 824271579602877114508714150039 × 65997004087015989956123720407169 × ...
23 素数ではない 素数ではない 2351 × 4513 × 13264529 × 76899609737 × ...
29 素数ではない 素数ではない 1399 × 2207 × 135607 × 622577 × 16673027617 × 4126110275598714647074087 × ...
31 2147483647 素数ではない 295257526626031 × 87054709261955177 × 242557615644693265201 × 178021379228511215367151 × ...
37 素数ではない 素数ではない
41 素数ではない 素数ではない
43 素数ではない 素数ではない
47 素数ではない 素数ではない
53 素数ではない 素数ではない
59 素数ではない 素数ではない
61 2305843009213693951 不明 (4×1033より小さい素因数はない)

次の二重メルセンヌ素数の最小の候補は、= 22305843009213693951 − 1である。この数はおよそ1.695×10694127911065419641であるため、現在知られている素数判定法で扱うには大きすぎる。4×1033より小さい素因数はない[2]。現在知られている4つ以外に二重メルセンヌ素数はおそらくないと考えられている[1][3]

pn番目の素数)の素因数は以下の通り

7, 127, 2147483647, 170141183460469231731687303715884105727, 47, 338193759479, 231733529, 62914441, 2351, 1399, 295257526626031, 18287, 106937, 863, 4703, 138863, 22590223644617, ... (次は4×1033より大きい) オンライン整数列大辞典の数列 A263686

カタラン・メルセンヌ数の推論[編集]

の代わりに と書く。二重メルセンヌ数は、これを再帰的に定義した数列の特別な場合である。

2, M(2), M(M(2)), M(M(M(2))), M(M(M(M(2)))), ... オンライン整数列大辞典の数列 A007013

これをカタラン・メルセンヌ数という[4]。カタランは、1876年にされたリュカによるM(127)=M(M(M(M(2)))) の素数の発見ののちに、この数列を思いついた[1][5]。 カタランは、「ある限度まで」は素数であると推測した。最初の5項(M127未満)は素数であるが、それ以上の数は非常に大きいため、素数であることを(妥当な時間内に)証明する既知の方法はない。しかし、MM127 が素数でない場合、小さい素数pをいくつか法にすることでMM127 を計算して見つけることができる(再帰的冪剰余を用いる。結果の残差が0の場合、pMM127 の因数であるため、その素数性を反証できる。MM127メルセンヌ数であるため、その素因数pは、2·k·M127+1の形でなければならない)。

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ a b c Chris Caldwell, Mersenne Primes: History, Theorems and Lists at the Prime Pages.
  2. ^ Tony Forbes, A search for a factor of MM61. Progress: 9 October 2008. This reports a high-water mark of 204204000000×(10019 + 1)×(261 − 1), above 4×1033. Retrieved on 2008-10-22.
  3. ^ I. J. Good. Conjectures concerning the Mersenne numbers. Mathematics of Computation vol. 9 (1955) p. 120-121 [retrieved 2012-10-19]
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Double Mersenne number". MathWorld(英語).
  5. ^ “Questions proposées”. Nouvelle correspondance mathématique 2: 94–96. (1876). https://archive.org/stream/nouvellecorresp01mansgoog#page/n353/mode/2up.  (probably collected by the editor). Almost all of the questions are signed by Édouard Lucas as is number 92:

関連文献[編集]