五乗数

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算術演算および代数演算において、五乗数(ごじょうすう、英語: fifth power)とは、ある数値 n の5乗となる数値、すなわち、英語版n 、冪指数を 5 とする冪乗( n5 = n × n × n × n × n )である。

数値 n の5乗は、n4乗n 自体を掛けたものに等しく、また、n3乗n2乗を掛けたものに等しい。

自然数の5乗[編集]

自然数の5乗を小さい順に列記すると、次のようになる。

0, 1, 32, 243, 1024, 3125, 7776, 16807, 32768, 59049, 100000, 161051, 248832, 371293, 537824, 759375, 1048576, 1419857, 1889568, 2476099, 3200000, 4084101, 5153632, 6436343, 7962624, 9765625, ... (オンライン整数列大辞典の数列 A000584

性質[編集]

10を底とする整数 n の5乗の最小の桁の値は、n の最小の桁の値と同じである。

五乗数の列の第4階差数列は公差 120等差数列であり、第5階差数列は定数列 120である。したがって五乗数の列は5階等差数列である。

アーベル–ルフィニの定理によれば、未知数の5乗を最大の冪乗とする代数方程式の解に対する一般的な代数式(冪根で表される式)は存在しない。5乗は、これが当てはまる最低の冪指数である。

5乗は、k − 1 個の k 乗数の和を1個の k 乗数で表すことができる冪指数 k のうちの1つで(もう1つは4乗)、オイラー予想に反例を与える。

具体的には、以下の例がある。

275 + 845 + 1105 + 1335 = 1445 (Lander & Parkin, 1966)[1]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Lander, L. J.; Parkin, T. R. (1966). “Counterexample to Euler's conjecture on sums of like powers”. Bull. Amer. Math. Soc. 72 (6): 1079. doi:10.1090/S0002-9904-1966-11654-3. 

参考文献[編集]