位相群の直和

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数学において位相群 G が二つの部分群 H1, H2位相的直和 (topological direct sum[1]) であるとは、写像

が位相群の同型であるときに言う。より一般に、G がその部分群の有限族 Hi (i = 1, …, n) の(位相的)直和であることは、位相群の同型
の存在によって定められる。
位相群 G がその部分群族 Hi の位相的直和となるならば、G は特に抽象群として(つまり位相を考えない意味で)G の部分群族 Hi の通常の直和ともなっていることに注意すべきである。

位相的直和因子[編集]

与えられた位相群 G に対し、その部分群 HG位相的直和因子 (topological direct summand) であるとは、適当な部分群 KG を選んで G が部分群 H, K の直和となるようにできることを言う。)

部分群 HG の位相的直和因子であるための必要十分条件は、位相群の拡大英語版

が分裂することである(このとき、HG から位相的に分裂する (split topologically from G) と言う)。ここに、i自然な埋め込みπ自然な射影である。

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  • G単位円 T を部分群として含む局所コンパクトアーベル群であるとき、TG の位相的直和因子である。同様の主張が実数直線 R に関しても成り立つ[2]

参考文献[編集]

  1. ^ Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1979), Abstract Harmonic Analysis I: Structure of topological groups, integration theory, group representations, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115 (2nd ed.), Berlin: Springer, MR 0551496  (81k:43001)
  2. ^ Armacost, David L. (1981), The structure of locally compact abelian groups., Monographs and Textbooks in Pure and Applied Mathematics, 68, New York: Marcel Dekker, Inc., pp. vii+154, ISBN 0-8247-1507-1, MR 0637201  (83h:22010)