体球調和関数

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物理学数学において、体球調和関数(たいきゅうちょうわかんすう、: solid harmonics)は球面座標系でのラプラス方程式の解を指す。原点で0になる正則な(regular)体球調和関数 と、原点が特異点となる非正則な(irregular)体球調和関数 の2種がある。いずれの関数集合もポテンシャル論で重要な役割を演じ、また適当にスケーリングすることで球面調和関数が得られる。

導出および球面調和関数との関係[編集]

空間ベクトル r の球面極座標として r, θ, φ を導入すると、ラプラス方程式は以下の形になる。

ここで l2 は無次元化した角運動量演算子

の2乗である。

知られているように、球面調和関数 Yml は演算子 l2 の固有関数である。

Φ(r) = F(r) Yml をラプラス方程式に代入し、両辺を球面調和関数で割ると、以下の動径方向の方程式とその一般解が得られる。

ラプラス方程式の解のうち一部が正則な体球調和関数

であり、また一部が非正則な体球調和関数

である。

ラカーの正規化[編集]

ラカー英語版イタリア語版の正規化(Racah's normalization、またはシュミットの準正規化(Schmidt's semi-normalization))はいずれの関数にも適用でき、単位("1")への正規化の代わりに

とするものである(非正則な体球調和関数についても同様)。応用上多くの場合、ラカーの正規化因子は微分の下で形を変えないため便利である。

加法定理[編集]

正則な体球調和関数を平行移動したものは、次のように有限項に展開される。

ここでクレブシュ–ゴルダン係数は次式で与えられる。

類似の展開が非正則な体球調和関数に対しても行え、無限級数に展開される。

ここで とする。ブラケットで囲まれた因子は再びクレブシュ–ゴルダン係数である。

参考文献[編集]

加法定理は著者によって様々な方法で証明されている。例えば、以下の2文献にはそれぞれの証明が載っている。

  • R. J. A. Tough and A. J. Stone, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 10, p. 1261 (1977)
  • M. J. Caola, J. Phys. A: Math. Gen. Vol. 11, p. L23 (1978)

実関数形式[編集]

±m についての簡単な線形結合によって、体球調和関数は実数値関数の集合に変換される。デカルト座標系で表示された実の正則体球調和関数は、x, y, z についての l 次斉次多項式である。これらの明示的に書かれた多項式は、例えば(球面座標で書かれた)原子軌道や実数値の多重極モーメント英語版に現れ、重要である。以下でその導出を行う。

線形結合[編集]

先述と同じ定義で、

ただし

ここで l 次のルジャンドル多項式である。

この m に依存した位相はコンドン・ショートレー位相(Condon-Shortley phase)として知られている。

実の正則体球調和関数は次のように定義される。

また m = 0 に対しては

線形変換はユニタリ行列によるものなので、正規化因子は実数値の場合も複素数値の場合も同じになる。

z-依存因子[編集]

u = cos θ と書くと、ルジャンドル多項式の m 階導関数は次のような u の多項式で書ける。

ここで

z = r cosθ だから、この導関数には適当な r の冪乗を掛ければ z のシンプルな多項式になる。

(x,y)-依存因子[編集]

次に、x = r sinθcosφ と y = r sinθsinφ に注意すると

同様に

これらより、次のように定義する。

まとめ[編集]

低次の関数のリスト[編集]

l = 5 以下の関数の明示式を記す。ここで



低次の は次の通りである。

m Am Bm
0
1
2
3
4
5

参考文献[編集]

  • Steinborn, E. O.; Ruedenberg, K. (1973). “Rotation and Translation of Regular and Irregular Solid Spherical Harmonics”. Advances in quantum chemistry. 7. Academic Press. pp. 1–82. ISBN 9780080582320. 
  • Thompson, William J. (2004). Angular momentum: an illustrated guide to rotational symmetries for physical systems. Weinheim: Wiley-VCH. pp. 143–148. ISBN 9783527617838.