六進法

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六進法(ろくしんほう。英:senary。独:Sechsersystem)とは、6とし、底およびその冪を基準に数を表す方法である。英語名の"senary"は、ラテン語で「六個一組」を意味する"senarius"に因む。

記数法[編集]

整数[編集]

さいころの六つの面。
丸が六つある面が「10」となる。
小数も、0.1が六つ、0.2が三つ集まって「1」になる。

六進記数法とは、を底とする位取り記数法である。慣用に従い、通常のアラビア数字十進数で表記し、六進記数法の表記は括弧および下付の 6 で表す。六進記数法で表された数を六進数と呼ぶ。

通常は、0, 1, 2, 3, 4, 5 の計 6 個の数字を用い、六を 10、を 11 と表記する。右端あるいは小数点で 1 の桁を表す。数字の意味する数は、左に一桁動くと 6 倍になり、右に一桁動くと 1/6 になる。従って、整数第二位は「六の位」、整数第三位は「三十六の位」、小数第一位は「六分の一の位」、小数第二位は「三十六分の一の位」になる。

(14)6 という表記において、左の「1」は六を表し、右の「4」は四を表し、合わせて「」を表す。

六進記数法では、(32)620 (3×61 + 2) を、(50)630 (5×61) を、(100)636 (1×62) を、(243)699 (2×62 + 4×61 + 3) を、(1000)6216 (1×63) を、(3415)6 は 803 (3×63 + 4×62 + 1×61 + 5) を、(10000)61296 (1×64) を、(13132)62000 (1×64 + 3×63 + 1×62 + 3×61 + 2) を、それぞれ意味する。

小数も同じく、(0.1)61/6 (1×6-1) を、(0.01)6 は 1/36 (1×6-2) を、(0.14)610/36 (1×6-1 + 4×6-2) を、(0.43)627/36 (4×6-1 + 3×6-2) を、(0.001)6 は 1/216 (1×6-3) を、それぞれ意味する。

例えば、十進法の 99×20 = 1980 は、六進法では (243)6 × (32)6 = (13100)6 と表記される。同じく、十進法の 1944 + 31 = 1975 は、六進法では (13000)6 + (51)6 = (13051)6 と表記される。

累乗数の換算表[編集]

以下の表に、六進数で表記した六の累乗数と、それを十進数(底が五の二倍)と十二進数(底が三の四倍)に換算した数値を掲載する。六進数は底が三の二倍で、十進数と同じく「底が奇数の二倍」であるが、桁の繰り上がりが速く、六十に満たない三十六で三桁に達し(十進数より三倍速く、十二進数より四倍速い)、1周たる三百六十に満たない3/5周=二百十六で四桁に達する(十進数より五倍速く、十二進数より八倍速い。(1000)6=(216)10 , (1000)12=(12000)6)。なお、十二進数は2/5周=百四十四で三桁に達する。

六の累乗数の換算
指数 六進数 十進数に換算 十二進数に換算
1乗 10 6 6
2乗 100 36 30
3乗 1000 216 160
4乗 1 0000 1296 900
5乗 10 0000 7776 4600
(10乗)6 = (6乗)10 100 0000 4 6656 2 3000
(11乗)6 = (7乗)10 1000 0000 27 9936 11 6000
(12乗)6 = (8乗)10 1 0000 0000 167 9616 69 0000
(13乗)6 = (9乗)10 10 0000 0000 1007 7696 346 0000
(14乗)6 = (10乗)10 100 0000 0000 6046 6176 1830 0000
(15乗)6 = (11乗)10 1000 0000 0000 3 6279 7056 A160 0000
(20乗)6 = (12乗)10 1 0000 0000 0000 21 7678 2336 5 0900 0000
-1乗 0.1 1/6 0.2
-2乗 0.01 1/36 0.04
-3乗 0.001 1/216 0.008
-4乗 0.0001 1/1296 0.0014


また、六進数と十二進数を対比すると、以下のような関係が見られる。

  • 六進数が「m×10n」になると、十二進数は「(m/2n)×10n」になる。
  • 十二進数が「m×10n」になると、六進数は「m×2n×10n」になる。

例として、倍数mを5、冪指数nを2とする。

  • 六進数の500 = 十二進数の130
    • 十進数で分解すると、六進数では5×62 = 5×36 = 180 = (500)6だが、十二進数では(5/22)×122 = (5/4)×144 = 180 = (130)12となる。つまり、2乗数の意味が、六進数での5倍が、十二進数では5÷22で5/4になる。
  • 十二進数の500 = 六進数の3200
    • 十進数で分解すると、十二進数では5×122 = 5×144 = 720 = (500)12だが、六進数では5×22×62 = 20×36 = 720 = (3200)6となる。 つまり、2乗数の意味が、十二進数での5倍が、六進数では5×22で20倍になる。

次は、倍数mを1、冪指数nを3とする。

  • 十二進数の1000 = 六進数の12000
    • どちらも(1728)10だが、十二進数は123で(1000)12に対して、六進数は23×63 = 8×216で(12000)6となり、(12)6 = 8 = 23 である。「桁の繰り上がりが、3乗レベルで六進数は十二進数より8倍速い」のはこれによる。

小数と除算[編集]

六進法では 0.1 が六つ集まると 1 になるので、0.1が1/6となり、0.3が1/2となり、0.2が1/3となり、1/3は割り切れる小数になる。小数の位数も、0.1が「六分の一」に続いて、0.01は「三十六分の一」、0.001は「二百十六分の一」となる。

計算例[編集]

2×3 と 「10」÷3

六進法では、2の3倍が「10」となるので、10÷3 の商も 2 となる。

  • 六進法:2 × 3 = 10(十進法で意訳:2の 3倍 は6)
  • 六進法:10 ÷ 3 = 2(十進法で意訳:6の 1/3 は2)
3 ÷ 8

十進法の「375」「(375)10÷(1000)10」を六進法に換算すると、十進法による「千分率」(= (10-3)10) を、六進法による「二百十六分率」(= 6-3) に換算した値になる。

  • 十進法:3 ÷ 8 = 0.375
  • 六進法:3 ÷ (12)6 = (0.213)6

上記の六進法の商を十進法に換算すると、(213)6 = 2×62 + 1×61 + 3 = 81 となる。(81/216)10 と (375/1000)10 は同じ値で、共に約分すると 3/8 となる。また、十進法の「3割7分5厘」を、そのまま六進法の「割分厘」に言い換えると「2割1分3厘」となるが、六進法の割分厘では、1割は1/6、1分は1/36、1厘は1/216となる。

(100)10 ÷ 3 , (1000)10 ÷ 3

十進法では 1/3 メートルが割り切れずに「100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル」「1/3 メートル = 333.3333… ミリメートル」になってしまうが、六進法では割り切れる。
六進法では、(100)10 センチメートルは (244)6 センチメートルと表記され、1/3 メートルは「244 ÷ 3 = 53.2 センチメートル」となる。同じく、六進法では 1/6 メートルも 1/9 メートルも割り切れ、1/6 メートルは「24.4 センチメートル」、1/9 メートルは「15.04 センチメートル」と表記される。同じく、(1000)10 メートルは (4344)6 センチメートル となる。つまり、十の累乗数を六進数に直せば、1/3(= 3-1)も1/9(= 3-2)も割り切れる。

  • 百の1/3
    • 十進法:100 ÷ 3 = 33.3333… センチメートル
    • 六進法:(244)6 ÷ 3 = (53.2)6 センチメートル
  • 千の1/3
    • 十進法:1000 ÷ 3 = 333.3333… ミリメートル
    • 六進法:(4344)6 ÷ 3 = (1313.2)6 ミリメートル
  • 千の1/9
    • 十進法:1000 ÷ 9 = 111.1111… ミリメートル
    • 六進法:(4344)6 ÷ (13)6 = (303.04)6 ミリメートル
  • 百の2/3
    • 十進法:100 × (2/3) = 66.6666… センチメートル
    • 六進法:(244)6 × (2/3) = (150.4)6 センチメートル
  • 千の2/3
    • 十進法:1000 × (2/3) = 666.6666… ミリメートル
    • 六進法:(4344)6 × (2/3) = (3030.4)6 ミリメートル

小数表[編集]

割り切れない小数の循環節は下線で示す。六はでは割り切れるがでは割り切れないので、五で割った際に循環小数になる例が多数現れる。と三で割り切れるので、三の累乗数である(六進法では13)や二十七(六進法では43)でも循環小数にならずに割り切れ、小数化すると割り切れない分数はかなり少なくなる。又、六と単偶数なので、二分割を繰り返した際の小数の末尾には、十だと5が来るが、六だと3が来る。即ち、六進法と十進法は、3と5の立場が逆転する事になる。

3と5の立場が逆転する例として、十進法では十(10 = 5×2)の累乗数を3で割ると、3が無限に続く循環小数になるのに対して、六進法では六(10 =3×2)の累乗数を十で割ると、3が無限に続く循環小数になる。

六進法の小数除算(十分割まで)
除数 2 3 4 5 10 (六) 11 (七) 12 (八) 13 (九) 14 (十)
被除数が1 0.3 0.2 0.13 0.1111 0.1 0.0505 0.043 0.04 0.0333
被除数が4 2 1.2 1 0.4444 0.4 0.3232 0.3 0.24 0.2222
被除数が10
(十進法の6)
3 2 1.3 1.1111 1 0.50505 0.43 0.4 0.3333
被除数が14
(十進法の10
5 3.2 2.3 2 1.4 1.2323 1.13 1.04 1
被除数が25
(十進法の17)
12.3 5.4 4.13 3.2222 2.5 2.2323 2.043 1.52 1.4111
被除数が50
(十進法の30)
23 14 11.3 10 5 4.1414 3.43 3.2 3
被除数が100
(十進法の36)
30 20 13 11.1111 10 5.0505 4.3 4 3.3333
被除数が140
(十進法の60)
50 32 23 20 14 12.3232 11.3 10.4 10
被除数が244
(十進法の100
122 53.2 41 32 24.4 22.1414 20.3 15.04 14
被除数が1000
(十進法の216)
300 200 130 111.1111 100 50.50505 43 40 33.3333
被除数が4344
(十進法の1000
2152 1313.2 1054 532 434.4 354.50505 325 303.04 244
分数の小数換算値(五分割まで)
分数 1/2(= 2/4) 1/3 2/3 1/4 3/4 1/5 2/5 3/5 4/5
六進法 0.3 0.2 0.4 0.13 0.43 0.1111 0.2222 0.3333 0.4444
十進法 0.5 0.3333 0.6666 0.25 0.75 0.2 0.4 0.6 0.8

乗算表[編集]

0 1 2 3 4 5
0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 10 12 14
3 0 3 10 13 20 23
4 0 4 12 20 24 32
5 0 5 14 23 32 41

命数法[編集]

六進命数法とは、6 を底とする命数法である。

数詞[編集]

自然言語で六進命数法の数詞を持つものは少ない。ニューギニア島近くのフレデリク・ヘンドリク島のンドム語[1] (Ndom) が六進法の数詞を持つと報告されている[2]。ンドム語では、 mer が 6、 mer an thef が 12 (6 × 2)、 nif が 36 (62)、 nif thef が 72 (62 × 2) を意味する。

この他には、パプアニューギニアのヤム語(en:Yam languages)やコムンゾ語が(en:Kómnzo language)が六進法を使用しており、六の累乗数にも個別の数詞が付けられている。コムンゾ語で六の累乗数を意味する数詞として、nimbo (6), féta (36 = 62), tarumba (216 = 63), ntamno (1296 = 64), wärämäkä (7776 = 65), wi (46656 = 66) がある。

語彙[編集]

六が底になった由来として、空間の基本的な方角つである事(2 × 3 次元 = 6。上下左右前後)が挙げられる。

日本語には、「」という十進法が主流とされる中で、「636」という六進法に基づく語彙や名数が存在している。例として、全ての方角を指して「六合」「六方」(= 61) と呼んだり、全ての景色を指して「三十六景」「三十六峰」(= 62) というように、空間や方角に関する語彙に六進法が用いられている。歌仙も「六歌仙」(= 61) や「三十六歌仙」(= 62) というように、6の累乗で数えられている。これらの数え方は、十進法が「十二乗で百」に対して、六進法は「六の二乗で三十六」という発想に基づいている。

単位系[編集]

六進法は、まれに単位系で使われることがある。尺貫法では、1 は 6 である。

指数え[編集]

六進法の指数えは、左手で六の位、右手で一の位を数えて、三十五(556:六進命数法だと「五六五」)まで数える方法である。例えば、左手に「三」と右手に「四」で、合わせて (34)6 = (22)10 を意味する。

長短[編集]

六進法は十進法と同じ単偶数進法であるが、長所と短所は他の「奇数×偶数」によるN進法十進法 (5×2)、十二進法 (3×4)、二十進法 (5×4)}とは対照的になっている。

短所
  • すぐに桁が繰り上がる
最も頻繁に挙がる六進法の短所として、「すぐに桁が繰り上がる」性質が挙げられる。六進法では、六の累乗数で桁が繰り上がるので、三十六で100、二百十六で1000となる。このため、1から5までの全てで割り切れる最小の数である六十は、十進法だと「60」、十二進法だと「50」、二十進法だと「30」というように二桁で収まるが、六進法だと「140」で三桁に膨れる。一の日数や一度数である三百六十も、十進法では「360」、十二進法では「260」、二十進法では「I0」というように三桁以内で収まるが、六進法だと「1400」で四桁に膨れる。
このため、時計や角度などの六十進法も、例えば十進法の「11時45分」は、十二進法だと「B時39分」、二十進法だと「B時25分」に対して、六進法だと「15時113分」になってしまう。分度器に表示される角度も、十進法の「90度、180度、270度、360度」は、十二進法だと「76度、130度、1A6度、260度」、二十進法だと「4A度、90度、DA度、I0度」に対して、六進法だと「230度、500度、1130度、1400度」になってしまう。
千四百四十(=四周、十グロス)前後だと、十進法では(=43446)で四桁に突入し、十二進法では千七百二十八(=120006)で四桁に突入するのに対して、六進法では千二百九十六で五桁に突入する(100006=129610=90012=34G20)。八千六百四十(=二十四周、五大グロス)前後だと、二十進法では八千(=1010126)で四桁に突入し、十進法では一万(=1141446)で五桁に突入するのに対して、六進法では七千七百七十六で六桁に突入する(1000006=777610=460012=J8G20)。このため、西暦皇紀などの年数表示も、五桁を要する事になる。
このように、様々な機器で多数の桁表示という手間が発生する。
  • 4分割と5分割が不便
六は23の積であるため、約数は2と3の計二つで、素因数分解も2×3となる。このため、2分割と3分割は容易であるが、4分割が困難になる。
一桁の整数では、「1/2:1/2」なら「3:3」、「1/32/3」なら「2:4」として表現できるが、「1/43/4」は表現できない。例えば、長さが2/3の袖は「四分袖」として表現できるが、長さが3/4の袖は表現できず「長さが5/6の袖」で「五分袖」になってしまう。一桁で4分割に対応するには、六の二倍で十二進法にしないと対応できない。小数レベルでも、六進法では、1/4(2-2)は小数では 0.13 となって割り切れるが、小数第一位で収まらない。1/8(2-3)になると、0.043 で小数第三位まで膨れてしまう。
また、10(六)は5で割り切れないので、5分割には対応できない。六進法では、1÷5 = 0.1111…、10÷5 = 1.1111…、100÷5 = 11.1111…、1000÷5 = 111.1111…、というように、10(六)の累乗数を5で割ると、1が果てしなく続く循環小数になる。
長所
  • 数え方が漸増的
六進法では一の位の数に5まで容れているので、漸増的な(一つずつ増やす)数え方も可能になる。「2 + 1」が3、「2の2倍」が4、「2の2倍 + 1」が5として個別の数で、5の次の「2の3倍」が10として表記されることで、数の概念を把握するのも容易になる。これは、十進法が「5の2倍」、十二進法が「3の4倍」「4の3倍」、二十進法が「5の4倍」「4の5倍」として大括りにする概念とは対照的である。
  • 3で割り切れる
六は素因数分解すると2×3で、複数の素数の積で表せる最小の数である。従って、用いる数字が少ないことによる長所も発生する。乗算では、「九九・八十一」が「五五・四六一」となって労力が軽くなる。その上に、除算では、八進法のような「2でしか割り切れない」、九進法のような「3でしか割り切れない」、十進法のような「3で割り切れない」という不便が発生しない。素因数が2と3の計二つなので、2の累乗数(二、四、十六…)、3の累乗数(三、九、二十七八十一…)、2p×3pの積(六、十二十八など)が、1を割り切れる数になる。三十六である100や二百十六である1000は、九(13=100÷4)でも十八(30=100÷2)でも二十七(43=100の3/4)でも割り切れる。
小数も、1/3が0.2、1/610が0.1で小数第一位に収まり、1/910(3-2)も0.04で小数第二位に収まる。小数第三位になる数を見ても、1/810(2-3)が0.043(十進表記:27/216)に対して、1/2710(3-3)は0.012(十進表記:8/216)で、両者は「8:2710」という小さい開きで収まる。このため、割分厘を六進法に変えて六分率()・三十六分率()・二百十六分率()にすると、1/3が「2割」「0.2」、1/4が「1割3分」「0.13」、1/610が「1割」「0.1」、1/810が「4分3厘」「0.043」、1/910が「4分」「0.04」、1/2710が「1分2厘」「0.012」として表すことが可能になる。
また、3-3の小数は六進法も十二進法も小数第三位(即ち厘)を要するが、十二進法だと千七百二十八分率{(0.054)12=十進表記で64/1728。開きは 6410:2710}になってしまうが、六進法ではその1/8の二百十六分率で足りる。
  • 分割も簡略化も容易
六進法は、すぐに桁が繰り上がるという短所の反面、3で割り切れて見やすくなるという長所も発生する。例えば、時計は、文字盤の3が「3」、6が「10」、9が「13」、12が「20」となり、数も15分は「23分」、30分は「50分」、45分は「113分」、60分は「140分」というように、文字盤と分数は、一の位は三の倍数である奇数が「3」、六の倍数が「0」で一致する。
更に、十進法は十二が1210で端数になるのに対して、六進法は六が10になっていることで、十二(20)と三十(50)は端数にならず、6010が「140」、36010が「1400」と表記されることで「一年は六ヶ月を二回(10×2=20)」「一ヶ月は六日を五回(10×5=50)」「一時間は六を回(10を14回=140)または十を六回(14を10回=140)」「一周は三十六を十回(100を14回=1400)または六十を六回(140を10回=1400)」として捉えることもできる。従って、六十までが三桁表記だが六十進法に適用すると、時計が逆に見やすくなることになる。その上に、前述の通り十(14)とその累乗数も3で割り切れる。
このように、分割という「最小公倍数」的要素のみならず、簡略化という「最大公約数」的要素の両方を六進法は持っている。これは、十(146)と(2446)に囚われる十進法や、十二(206)と百四十四(4006)に囚われる十二進法とは対照的である。

参考文献[編集]

  1. ^ Gordon, Raymond G., Jr., ed. (2005), “Ndom”, Ethnologue: Languages of the World (15 ed.), http://www.ethnologue.com/show_language.asp?code=nqm 2008年3月12日閲覧。 
  2. ^ Owens, Kay (2001), “The Work of Glendon Lean on the Counting Systems of Papua New Guinea and Oceania”, Mathematics Education Research Journal 13 (1): 47-71, オリジナルの2015年9月26日時点によるアーカイブ。, https://web.archive.org/web/20150926003303/http://www.uog.ac.pg/glec/Key/Kay/owens131.htm 

関連サイト[編集]

関連項目[編集]