剰余加群

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抽象代数学において、加群部分加群が与えられると、それらの剰余加群商加群 (quotient module) を構成することができる[1][2]。この構成は、以下で書かれるが、整数を整数 n を法としてを得る方法の類似である。合同式を見よ。剰余群剰余環に用いられるのと同じ構成である。

R 上の加群 AA の部分加群 B が与えられると、商空間 A/B は次の同値関係によって定義される。A の任意の元 ab に対して

a ~ b baB の元。

A/B の元は同値類 [a] = { a + b : bB } である。

A/B加法の演算 は2つの同値類に対してこれらの類の2つの代表元の和の同値類として定義される。R の元による積についても同様である。このようにして A/B はそれ自身 R 上の加群となり、商加群剰余加群 (quotient module) と呼ばれる。記号で書けば、すべての a, bArR に対して [a] + [b] = [a+b], r·[a] = [r·a] である。

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実数の環 RR-加群 A = R[X]、実係数の多項式環を考えよう。A の部分加群

B = (X2 + 1) R[X]

つまり、X2+1 で割り切れるすべての多項式からなる部分加群を考えよう。この加群によって決定される同値関係は

P(X) ~ Q(X) ⇔ P(X) と Q(X) は X2 + 1 で割ったときに余りが同じになる

であることが従う。それゆえ、剰余加群 A/B において、X2 + 1 は 0 と同じである。なので A/BR[X] から X2 + 1 = 0 とすることによって得られると考えることができる。この剰余加群は複素数全体と、R上の加群として同型である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3rd ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-43334-9. 
  2. ^ Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 0-387-95385-X.