十芒星

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Regular decagram
Regular star polygon 10-3.svg
A regular decagram
種類 星型正多角形
頂点 10
シュレーフリ記号 {10/3}
t{5/3}
コクセター図形 CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel rat.pngCDel d3.pngCDel node.png
CDel node 1.pngCDel 5-3.pngCDel node 1.png
対称性群 二面体 (D10)
内角 () 72°
双対多角形 自己双対
要素 星型円型等辺英語版等角英語版同辺英語版

幾何学において、十芒星英語: decagram、デカグラム)は、10個の角を持つ星型多角形。正十芒星は、正十角形の頂点を3つおきに結んでいくとできる図形である。シュレーフリ記号は{10/3}である[1]

正十芒星[編集]

1辺が1である正十芒星の場合、各辺を交点で区切った長さの割合は以下のようになる。

Decagram lengths.svg

応用[編集]

正十芒星は、ギリータイルの装飾図柄の1つとして用いられている[2]

Girih tiles.svg

関連図形[編集]

正十芒星は、正十角形と同じ頂点を持つ、記号 {10/n} で表される10点ポリグラムである。このポリグラムのうち、{10/3} (3点おきに結んだもの)のみが星型正十角形を形成するが、星型正多角形が組み合わさったものと解釈できるものは3つある。

  • {10/5} - 5つの二角形を組み合わせたもの 5{2}
  • {10/4} - 2つの五芒星を組み合わせたもの 2{5/2}
  • {10/2} - 2つの五角形を組み合わせたもの 2{5}.[3][4]
形状 組み合わせ 星型多角形 組み合わせ
Regular polygon 10.svg Regular star figure 2(5,1).svg Regular star polygon 10-3.svg Regular star figure 2(5,2).svg Regular star figure 5(2,1).svg
記号 {10/1} = {10} {10/2} = 2{5} {10/3} {10/4} = 2{5/2} {10/5} = 5{2}

{10/2} は、3次元の複合十二面体二十面体、4次元の複合百二十胞体六百胞体の2次元のものと見ることができる。つまり、それぞれの双対にある2つの五角形ポリソープを組み合わせたものである。

{10/4}も同様の理由により、3次元における小星型十二面体と大十二面体を組み合わせたもの、大二十面体と大星型十二面体を組み合わせたものと2次元において等価なものとみなすことができる。4次元においては相当するものは6つあり、そのうち2つは五芒星自身のように2つの自己双対星ポリトープを組み合わせたもの、複合大百二十胞体、複合大星型百二十胞体である。複合多面体の一覧参照。

正五角形と五芒星の先端を大きく切り取ると、10個の等間隔にうたれた頂点と2辺の長さが頂点推移のままである(図形の対称性により任意の2頂点を互いに変換できる)中間星型多角形ができる[5][6][7]

五角形と五芒星の等角切頭
正多角形・正星型多角形 等角 正多角形・正星型多角形
二重被覆
Regular polygon truncation 5 1.svg

t{5} = {10}
Regular polygon truncation 5 2.svg Regular polygon truncation 5 3.svg Regular star polygon 5-2.svg

t{5/4} = {10/4} = 2{5/2}
Regular star truncation 5-3 1.svg

t{5/3} = {10/3}
Regular star truncation 5-3 2.svg Regular star truncation 5-3 3.svg Regular polygon 5.svg

t{5/2} = {10/2} = 2{5}

脚注[編集]

  1. ^ Barnes, John (2012), Gems of Geometry, Springer, pp. 28–29, ISBN 9783642309649, https://books.google.com/books?id=7YCUBUd-4BQC&pg=PA28 
  2. ^ Sarhangi, Reza (2012), “Polyhedral Modularity in a Special Class of Decagram Based Interlocking Star Polygons”, Bridges 2012: Mathematics, Music, Art, Architecture, Culture, pp. 165–174, http://archive.bridgesmathart.org/2012/bridges2012-165.pdf .
  3. ^ Regular polytopes, p 93-95, regular star polygons, regular star compounds
  4. ^ Coxeter, Introduction to Geometry, second edition, 2.8 Star polygons p.36-38
  5. ^ The Lighter Side of Mathematics: Proceedings of the Eugène Strens Memorial Conference on Recreational Mathematics and its History, (1994), Metamorphoses of polygons, Branko Grünbaum.
  6. ^ Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P. (1954年). “Uniform polyhedra”. Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society) 246 (916): 411. Bibcode 1954RSPTA.246..401C. doi:10.1098/rsta.1954.0003. ISSN 0080-4614. JSTOR 91532. MR 0062446. 
  7. ^ Coxeter, The Densities of the Regular polytopes I, p.43 If d is odd, the truncation of the polygon {p/q} is naturally {2n/d}. But if not, it consists of two coincident {n/(d/2)}'s; two, because each side arises from an original side and once from an original vertex. Thus the density of a polygon is unaltered by truncation.