単純加群

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R 上の左加群 S ≠ {0} が非自明な部分 R-加群をもたないとき、S単純加群(たんじゅんかぐん、: simple module)または既約加群(きやくかぐん、: irreducible module)という。これは任意の 0 ≠ xS について S = Rx となることと同値である。 これは左 R-加群の R-Mod において、すべてのゼロでない準同型写像 SM単射である、あるいはすべてのゼロでない準同型写像 MS全射であることとしても特徴づけられる[1]。 右加群に対しても同様に定義される。

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  • 有限 Z-加群はアーベル群と同じなので、 単純 Z-加群とは {0} でない真の部分群をもたないアーベル群、つまり位数素数巡回群である。
  • 係数環 R が特に R = k のとき k-加群とは線型空間なので、単純 k-加群とは 1 次元線型空間 k のことである。
  • (直前の例を一般化して)係数環 R が特に体 k 上の全行列環 R = Matn(k)のとき 単純 R-加群は kn である。ただし環の作用は行列の乗法で定める。
  • 複素数体 C 上の対称群 Sn に関する群環 CSn の単純 CSn-加群の同型類シュペヒト加群英語版で与えられる。

性質[編集]

  • R極大左イデアル L に対し、R/L は単純左加群である。逆に,すべての単純加群はこのようにして得られる[1]
  • (直前の性質より)単純加群は常に存在する[1]
  • 単純加群は直既約加群である。
  • 単純加群は巡回加群である。

脚注[編集]

  1. ^ a b c Anderson & Fuller 1992, p. 116.

参考文献[編集]

関連項目[編集]