双心四角形

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双心四角形(そうしんしかっけい、Bicentric Quadrilateral)とは外接円内接円の両方をもつ四角形のことである。双心多角形英語版の一種。

面積の公式[編集]

4辺が a, b, c, d である双心四角形 ABCD の面積は次の公式で表される。

S = √abcd

より一般に、内接円を持つ四角形 ABCD の面積は、 とおくと次で与えられる。

S = √abcd sin t

双心四角形に対する公式は、t = π/2 という特殊な場合である。

証明[編集]

双心四角形ABCD において、外接円を持つことからブラーマグプタの公式が使えて、次の式が成り立つ。

S = √(sa)(sb)(sc)(sd)
ただし

内接円を持つ四角形の対辺の和は等しいので

a + c = b + d = s

したがって

sa = c
sc = a
sb = d
sd = b

ゆえに

S = √abcd

(証終)

外接円を持つとは限らない一般の場合の公式は、ブレートシュナイダーの公式を用いて同様に示せる。

外接円と内接円の関係[編集]

外接円の半径を R、内接円の半径を r、外接円の中心と内接円の中心の距離を d としたとき、

2r2(R2 + d2) = (R2d2)2

が成り立つ。

関連項目[編集]

Weisstein, Eric W. "Bicentric Quadrilateral". MathWorld(英語).