双曲3次元多様体

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数学において双曲3次元多様体(そうきょく3じげんたようたい、: Hyperbolic 3-manifold)とは、定数断面曲率 -1 を持つ完備リーマン計量を備える3次元多様体英語版のことを言う。これは言い換えると、自由かつ固有不連続英語版に作用する双曲等長の部分群による3次元双曲空間英語版の商である。クラインモデル英語版を参照されたい。

この多様体の厚薄分解は、閉測地線の管状近傍からなる薄い部分と、ユークリッド曲面と閉半直線の積であるエンドからなる。この多様体の体積が有限であるための必要十分条件は、その厚い部分がコンパクトであることである。この場合、エンドは閉半直線を横切るトーラスの形をしており、尖点(cusp)と呼ばれる。

構成[編集]

1912年に初めて発見された、尖った双曲3次元多様体はギーゼキング多様体である。それはイデアル双曲四面体の面を貼り合わせることで構成される。

3次元球面における結び目と絡み目の補空間は、頻繁に尖った(frequently cusped)双曲多様体である。この例には、8の字結び目ボロミアン環英語版ホワイトヘッド絡み目英語版の補空間が含まれる。より一般に幾何化によると、サテライト結び目英語版でもトーラス結び目でもない結び目は、双曲結び目である。

双曲デーン手術英語版に関するサーストンの定理では、充填スロープの有限の集まりが除かれる場合、双曲絡み目についての残ったデーン充填は双曲3次元多様体であることが示されている。ザイフェルト=ウェーバー空間英語版は、十二面体の向かい合う面を貼り合わせることで得られる、コンパクトな双曲3次元多様体である。

任意の閉じた向き付け可能な双曲3次元多様体上には、双曲体積を定義することができる。ウィークス多様体は、任意の向き付けられた閉双曲3次元多様体の中で最小の体積を持つ多様体である。

サーストンは、円上の曲面束英語版が双曲であるための必要十分条件を与えた。すなわち、その束のモノドロミー擬アノソフ英語版であることである。これはハーケン多様体英語版に対する彼の有名な双曲化定理英語版の一部である。

ペレルマンによって証明されたサーストンの幾何化予想によれば、無限の基本群を持つ任意の閉、既約英語版かつアトロイダル英語版な3次元多様体は、双曲多様体である。境界を持つ3次元多様体に対しても、同様の主張が成り立つ。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  • W. Thurston, 3-dimensional geometry and topology, Princeton University Press. 1997.