合併 (集合論)

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数学において、集合族の和集合（わしゅうごう）、あるいは合併集合（がっぺいしゅうごう）、合併（がっぺい、union）、あるいは演算的に集合の和（わ、sum）、もしくは結び（英語版）（むすび、join）とは、集合の集まり（集合族）に対して、それらの集合のいずれか少なくとも一つに含まれているような要素を全て集めることにより得られる集合のことである[注 1]。

定義[編集]

和集合のベン図による視覚化

集合 A と集合 B が与えられたとき、集合 A ∪ B を、A, B いずれかの集合の少なくとも一方に含まれる元 x の全体 (x ∈ A ∪ B ⇔ x ∈ A または x ∈ B) として定めて、あるいは同じことだが

A \cup B := \{x \mid x \in A \mbox{ or } x \in B\}

として定義される集合を、集合 A, B の和集合と呼ぶ。また特に、A と B が交わりを持たないときの和集合 A ∪ B を A と B の（集合論的）直和（ちょくわ、[set theoric] direct sum）あるいは非交和（ひこうわ、disjoint union）と呼び、"A ∪ B (disjoint)" や、明示的に記号を違えて

A \sqcup B

などと記すこともある。また、集合の族

\mathfrak{M} = \{ M_{\lambda} \}_{\lambda \in \Lambda}

に対して、集合族に属するいずれかの集合に属する元

x \in M_\lambda \mbox{ for some } \lambda \in \Lambda

の全体として集合族の和

\bigcup \mathfrak{M} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} M_{\lambda}

を定義する。有限個の元からなる集合族 A1, A2, ..., Ak の和集合は

A_1 \cup A_2 \cup \cdots \cup A_k, \quad \bigcup_{n=1}^k A_n

などとも表す。自然数などで添え字付けられた集合の和についても

A_1 \cup A_2 \cup \cdots, \quad \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n

などのように表すことがある。また、集合族に属する集合からどの異なる二つを選んでもそれらが交わりを持たないとき、つまり

M, N \in \mathfrak{M},\ M \ne N \Rightarrow M \cap N = \emptyset

となるとき、その集合族の和集合は直和、あるいは非交和であるといい、

\coprod \mathfrak{M}, \quad \bigsqcup\, \mathfrak{M}, \quad \sum \mathfrak{M}, \quad \sum{}^{\cup}\, \mathfrak{M}

などの記号を用いることがある。

例[編集]

P = {1, 3, 5, 7, 9} （10 以下の奇数の集合）、Q = {2, 3, 5, 7} （10 以下の素数の集合）とすると、P ∪ Q = {1, 2, 3, 5, 7, 9} である。

実数からなる半開区間の族 M = {(0, 1 − 1/n] | n は 0 でない自然数} とすると集合族 M の和集合は開区間 (0, 1) である：

\bigcup \mathbf{M} = \bigcup_{n=1}^{\infty}\left(0,\,1-\frac{1}{n}\right] = (0, 1).

実際、0 < x < 1 なる x に対して、x = 1 − ε となるような正の実数 ε が存在するが、ここで 1 / ε < n となる自然数 n は必ず存在して、この n に対して x は半開区間 (0, 1 − 1 / n] に属する。一方、1 ≤ x となる x は M のどの半開区間にも属さないので、和集合にも属さない。

実数の全区間（数直線）R = (−∞, ∞) は長さが 1 の半開区間の族 {(m, m + 1] | m は整数} の直和に分割できる。つまり

\mathbb{R} = \coprod_{m=-\infty}^{\infty} (m, m+1]

が成り立つ。

性質[編集]

一般に和集合には以下の恒等式が存在する。A, B, C を任意の集合とし、a, b, c を任意の実数とする。

交換法則
A \cup B = B \cup A

これは

a + b = b + a \,

に対応し、和の交換法則に相当する。

結合法則
(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)

これは

(a + b) + c = a + (b + c) \,

に対応し、和の結合法則に相当する。

分配法則
A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)

これは

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c) \,

に対応し、分配法則に相当する。

A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)

これも集合の演算に成り立ち、数の演算とは異なっている。

その他
A \cup \varnothing = A

ここで \varnothing \, は空集合を表す。これは

a + 0 = a \,

に対応し、 \varnothing \, は集合の加法の単位元に相当する。

A \cup A = A

これは冪等演算であり、数の演算とは異なる。

(A \cup B)^c = A^c \cap B^c

ここで c は補集合を表す。これはド・モルガンの法則と呼ばれる。

注[編集]

  1. ^ 文献によっては和集合と合併ということばを使い分けることがあるが，そのような使い分けはあまり一般的でない[1]。また、齋藤 (2002, p. 5) によれば、普通の数学者は合併集合を好み，集合論の専門家は和集合を好むようであるが、中島 (2012, p. 69) によれば、和集合が一般的に使われている。

関連項目[編集]

出典[編集]

  1. ^ 齋藤 2002, pp. 4–5.

参考文献[編集]

  • 齋藤, 正彦 『数学の基礎　集合・数・位相』 東京大学出版会〈基礎数学14〉、2002年。ISBN 978-4-13-062909-6。
  • 中島, 匠一 『集合・写像・論理――数学の基本を学ぶ』 共立出版株式会社、2012年。ISBN 978-4-320-11018-2。
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