対偶 (論理学)

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対偶（たいぐう、英: Contraposition）とは、ある命題が成立する場合に、その命題の仮定と結論の両方を否定した命題も成立するという命題同士の関係性の事を言う。

命題「AならばB」の対偶は「BでないならAでない」である。 論理記号を用いて説明すると、命題「A ⇒ B」の対偶は「¬B⇒ ¬A」（¬A は命題 A の否定）である。

通常の数学では、命題「AならばB」の真偽とその対偶「BでないならAでない」の真偽とは必ず一致する(すなわち真理値が等しい）。

数学では、元の命題「AならばB」の証明が難しくても、その対偶「BでないならAでない」の証明は比較的易しい場合がある。「AならばB」と「BでないならAでない」との真偽は一致するので、このようなときには対偶「BでないならAでない」のほうを証明すれば「AならばB」を証明できる（対偶論法）。

関連概念[編集]

命題「AならばB」に対し、

  • 対偶：「BでないならAでない」
  • 逆：「BならばA」
  • 裏：「AでないならBでない」

がある。

対偶の場合とは異なり、元の命題「AならばB」が正しくとも逆・裏は必ずしも正しいとは限らない（逆は必ずしも真ならず）。 しかし、逆命題「BならばA」の対偶は、「AならばB」の裏「AでないならBでない」と一致するので、逆「BならばA」と裏「AでないならBでない」の真偽は必ず一致する。

自然言語（とくに日常語や文学・比喩表現）では、論理学における論理的関係が常にそのまま適用できるとは限らず、命題と対偶命題が異なる真理値を持つように見えることがある。

直観主義論理における扱い[編集]

上述の対偶の性質は古典論理におけるそれであり、非古典論理においては成立しない場合がある。例えば直観主義論理においては、必ずしも「AならばB」とその対偶「BでないならAでない」の真偽は一致しない。

直観主義論理の特徴として、排中律の不成立（あるいは二重否定の除去の制限）があげられるが、対偶の性質はこの制限の影響を受け成立しない。なお「AならばB」から「BでないならAでない」は、直観主義論理においても導出可能である。

脚注[編集]

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関連文献[編集]

  • 前原昭二『記号論理入門』安東祐希 補足、日本評論社〈日評数学選書〉、2005年12月、新装版。ISBN 978-4-535-60144-4。
  • 矢野健太郎『新しい数学』岩波書店〈岩波新書 青版 G-8〉、1966年2月21日。ISBN 4-00-416008-1。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]