対数関数の原始関数の一覧

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本項は、対数関数原始関数の一覧である。さらに完全な原始関数の一覧は、原始関数の一覧を参照のこと。

本項では、x > 0 を前提としている。また積分定数は簡便のために省略している。

対数関数のみ[編集]

\int\ln ax\;dx = x\ln ax - x
\int\ln (ax + b)\;dx = \frac{(ax+b)\ln(ax+b) - (ax+b)}{a}
\int (\ln x)^2\; dx = x(\ln x)^2 - 2x\ln x + 2x
\int (\ln x)^n\; dx = x\sum^{n}_{k=0}(-1)^{n-k} \frac{n!}{k!}(\ln x)^k
\int \frac{dx}{\ln x} = \ln|\ln x| + \ln x + \sum^\infty_{k=2}\frac{(\ln x)^k}{k\cdot k!}
\int \frac{dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{1}{n-1}\int\frac{dx}{(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
\int (\ln x)^x\; dx = (\ln x)^{x-1} + \left(\ln (\ln x) \right)(\ln x)^x

変数の冪を含む積分[編集]

\int x^m\ln x\;dx = x^{m+1}\left(\frac{\ln x}{m+1}-\frac{1}{(m+1)^2}\right) \qquad\mbox{(for }m\neq -1\mbox{)}
\int x^m (\ln x)^n\; dx = \frac{x^{m+1}(\ln x)^n}{m+1} - \frac{n}{m+1}\int x^m (\ln x)^{n-1} dx  \qquad\mbox{(for }m\neq -1\mbox{)}
\int \frac{ \left(\ln x \right)^n\; dx}{x} = \frac{(\ln x)^{n+1}}{n+1}  \qquad\mbox{(for }n\neq -1\mbox{)}
\int \frac{\ln{x^n}\;dx}{x} = \frac{ \left(\ln{x^n} \right)^2}{2n} \qquad\mbox{(for }n\neq 0\mbox{)}
\int \frac{\ln x\,dx}{x^m} = -\frac{\ln x}{(m-1)x^{m-1}}-\frac{1}{(m-1)^2 x^{m-1}} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}
\int \frac{(\ln x)^n\; dx}{x^m} = -\frac{(\ln x)^n}{(m-1)x^{m-1}} + \frac{n}{m-1}\int\frac{(\ln x)^{n-1} dx}{x^m} \qquad\mbox{(for }m\neq 1\mbox{)}
\int \frac{x^m\; dx}{(\ln x)^n} = -\frac{x^{m+1}}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} + \frac{m+1}{n-1}\int\frac{x^m dx}{(\ln x)^{n-1}}  \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
\int \frac{dx}{x\ln x} = \ln \left|\ln x\right|
\int \frac{dx}{x^n\ln x} = \ln \left|\ln x\right| + \sum^\infty_{k=1} (-1)^k\frac{(n-1)^k(\ln x)^k}{k\cdot k!}
\int \frac{dx}{x(\ln x)^n} = -\frac{1}{(n-1)(\ln x)^{n-1}} \qquad\mbox{(for }n\neq 1\mbox{)}
\int \ln \left(x^2+a^2 \right)\; dx = x\ln \left(x^2+a^2 \right)-2x+2a\tan^{-1} \frac{x}{a}
\int \frac{x}{x^2+a^2}\ln \left(x^2+a^2 \right)\; dx = \frac{1}{4} \ln^2 \left(x^2+a^2 \right)

三角関数を含む積分[編集]

\int \sin (\ln x)\;dx = \frac{x}{2} \left(\sin (\ln x) - \cos (\ln x) \right)
\int \cos (\ln x)\;dx = \frac{x}{2} \left(\sin (\ln x) + \cos (\ln x) \right)

指数関数を含む積分[編集]

\int e^x \left(x \ln x - x - \frac{1}{x}\right)\;dx = e^x (x \ln x - x - \ln x)
\int \frac{1}{e^x} \left( \frac{1}{x}-\ln x \right)\;dx = \frac{\ln x}{e^x}
\int e^x \left( \frac{1}{\ln x}- \frac{1}{x\ln^2 x} \right)\;dx = \frac{e^x}{\ln x}

高階積分[編集]


\underbrace{
 \biggl.\biggr.
 \int
 \cdots
 \int
}_{n}
\, \ln x \,
\underbrace{
 \biggl.\biggr.
 {\,\mathrm d}x
 \cdots
 {\,\mathrm d}x
}_{n}
= \frac{x^{n}}{n!}\left(\ln\,x-\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}\right)+ \sum_{k=0}^{n-1} C_{k} \frac{x^{k}}{k!}

出典[編集]