等比数列

等比数列（とうひすうれつ、英: geometric progression, geometric sequence; 幾何数列）は、隣り合う二項の比が項番号によらず等しい数列を言う。各項に共通する (common) その一定の比のことを公比（こうひ、英: common ratio）という。

例えば 4, 12, 36, 108, … という数列 (a_n)∞
n=1  は、各項が直前の項に 3 を掛けたものになっているから、初項が 4, 公比が 3 の等比数列である。

公比 r は r := a_n+1/a_n（n は任意）という形で取り出すことができ、0 以外の全ての数を取りうる（とくに r := 1 の場合は公差が 0 の等差数列でもある）。等比数列の各項は初項 a と公比 r を用いて

と表せる。すなわち n 番目の項 a_n（一般項）は で求まる。 一般に第 n 項 a_n と第 m 項 a_m の関係は ${\textstyle a_{n}=a_{m}r^{n-m}}$　である。

数学的性質[編集]

等比数列を漸化式で表すと、

${\displaystyle a_{1}=a,\quad a_{n+1}=ra_{n}\quad (n\geq 1)}$

となる。公比が負の場合は符号が一項ずつ入れ替わる数列となる。例えば　3, −6, 12, −24, …　という数列は公比 −2 の等比数列であり、一般項は

${\displaystyle a_{n}=3\cdot (-2)^{n-1}=(-1)^{n-1}\,3\cdot 2^{n-1}}$

となる。公比が正であれば全ての項は初項と同じ符号を持つ。

公比 r について、

• r > 1 ならば等比数列は初項の符号によって正もしくは負の無限大に発散する。
• −1< r < 1 の場合は 0 に収束する。
• r = −1 では a と −a の値のみを交互にとる（振動）。
• r < −1 では振動する（発散する。正もしくは負の無限大に発散するということではない）。

形式的に等比数列の一般項の対数をとると

${\displaystyle \log a_{n}=\log a+(n-1)\log r}$

となり、数列 log a_n は初項 log a 、公差 log r の等差数列になる。

等比数列の連続する3項を小さい順から a, b, c とすると、常に b² = ac が成り立つ^[1]。

等比数列の和[編集]

等比数列の初項から第 n 項までの和は以下の式で定義される。

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\dotsb +ar^{n-1}}$

ここで

${\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}r^{k-1}&=(1-r)(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\dotsb +r^{n-1})\\&=(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\dotsb +r^{n-1})-(r^{1}+r^{2}+r^{3}+r^{4}+\dotsb +r^{n-1}+r^{n})\\&=1-r^{n}\end{aligned}}}$

であるので

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}={\frac {a(r^{n}-1)}{r-1}}\quad (r\neq 1).}$

ただし、r = 1 では

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}a=na}$

である。第 m 項から第 n 項までの和は

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}ar^{k-1}=\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}-\sum _{k=1}^{m-1}ar^{k-1}={\frac {a(r^{m-1}-r^{n})}{1-r}}={\frac {a(r^{n}-r^{m-1})}{r-1}}\quad (r\neq 1).}$

無限等比級数[編集]

を初項 ${\displaystyle a}$、公比 ${\displaystyle r}$ の無限等比級数という^[2]。 −1 < r < 1 すなわち |r| < 1 のとき、無限等比級数は収束し、その和を次のように求めることができる。

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }ar^{n-1}&=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n}}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}\end{aligned}}}$

a ≠ 0 かつ |r| ≥ 1 ではこの級数は収束しない。

a = 1 の場合の式を r で項別微分すると

${\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}$

となり、

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k-1}r={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}}$

が導かれる。

脚注[編集]

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1. ^ r > 0 のとき b は比例中項と呼ばれる。a:b = b:c = r
2. ^ 日本数学検定協会編　『実用数学技能検定 要点整理 数学検定準1級』　日本数学検定協会、2014年、126頁、ISBN 978-4901647496。

関連項目[編集]

外部リンク[編集]

• 竹之内脩『等比数列』 - コトバンク
• 世界大百科事典『等比級数』 - コトバンク
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence". MathWorld（英語）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series". MathWorld（英語）.

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