懸垂 (位相幾何学)

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位相幾何学において,位相空間 X懸垂: suspensionSX とは,X単位区間 I = [0, 1]積空間商空間

円の懸垂.もとの空間は青色で,押しつぶされた端点は緑色.

である.したがって,X円柱に引き伸ばされ,そして両端が点に押しつぶされる.X を端点の間に「ぶらさがっている」(suspended) と見る.懸垂を X 上の2つのを base で貼り合わせた英語版もの(あるいは1つの錐の商)とも見られる.

連続写像 f: XY が与えられると,Sf([x, t]) := [f(x), t] によって定義される写像 Sf: SXSY が存在する.これにより S位相空間の圏から自身への関手となる.荒っぽく言えば,S は空間の次元を 1 増やす:それは n ≥ 0 に対して n 次元球面(n + 1) 次元球面に写す.

空間 SXjoin英語版 に同相である,ただし S0 は2点離散空間である.

空間 SX は,下記の約懸垂と区別するために,Xunreduced, unbased, or free suspension と呼ばれることもある.

懸垂はホモトピー群の準同型を構成するのに使うことができ,それにはフロイデンタールの懸垂定理英語版を適用できる.ホモトピー論では,適切な意味で懸垂で保たれる現象は安定ホモトピー論英語版を作る.

約懸垂[編集]

X が(x0 を基点に持つ)基点付き空間のとき,ときどきより有用な,懸垂の変種がある.X約懸垂 (reduced suspension, based suspension) ΣX とは,商空間

である.これは SX をとり,2端点を結ぶ線分 (x0 × I) を一点に押しつぶすことと同値である.ΣX の基点は (x0, 0)同値類である.

X の約懸垂は X単位円 S1 とのスマッシュ積同相である

ことを示すことができる.

CW複体英語版のような行儀のよい英語版空間に対しては,X の約懸垂は通常の懸垂とホモトピー同値である.

Σ基点付き空間の圏から自身への関手を生じる.この関手の重要な性質は,(基点付き)空間 X をそのループ空間英語版 ΩX に送る関手 Ω左随伴であることである.言い換えると,自然に

である,ただし は基点を保つ連続写像全体である.この随伴はデカルト積上の写像をカリー化された形に送るカリー化英語版の形と理解でき,Eckmann–Hilton duality英語版 の例である.これは懸垂と自由ループ空間に対しては成り立たない.

Desuspension[編集]

Desuspension英語版 は懸垂の逆である操作である[1]

関連項目[編集]

脚注[編集]

  1. ^ Wolcott, Luke. “Imagining Negative-Dimensional Space”. forthelukeofmath.com. 2015年6月23日閲覧。

参考文献[編集]

  • Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Presses, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
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