斉次多項式

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数学において、斉次多項式(せいじたこうしき、: homogeneous polynomial)あるいは同次多項式(どうじたこうしき)、あるいは略して斉次式、同次式とは、非零項がすべて同じ次数であるような多項式のことである[1]。例えば、x^5 + 2 x^3 y^2 + 9 x y^4 は2変数の5次の斉次多項式である。各項の指数の和は常に5だからである。多項式 x^3 + 3 x^2 y + z^7 は斉次ではない。項によって指数の和が異なるからである。多項式が斉次であることと斉次関数を定義することは同値である。(代数的)形式 ((algebraic) form) とは、斉次多項式によって定まる関数のことである[2]binary form とは二変数の形式である。形式ベクトル空間上定義される、任意の基底上座標の斉次関数として表せる関数でもある。

0次多項式は常に斉次である。これは単に係数のの元であり、通常定数やスカラーと呼ばれる。1次の形式は線型形式である[3]。2次の形式は二次形式である。幾何学において、ユークリッド距離は二次形式の平方根である。

斉次多項式は数学や物理学のいたるところであらわれる[4]。斉次多項式は代数幾何学において基本的な役割を果たす。射影代数多様体は斉次多項式のある集合の共通零点全体の集合として定義されるからである。

性質[編集]

斉次多項式は斉次関数を定める。つまり、多変数多項式 Pd 次斉次であることと、係数のすべての元 \lambda に対して

P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=\lambda^d\,P(x_1,\ldots,x_n)

が成り立つことは同値である。とくに、P が斉次であれば、すべての \lambda に対して

P(x_1,\ldots,x_n)=0 \quad\Rightarrow\quad P(\lambda x_1, \ldots, \lambda x_n)=0 が成り立つ。この性質は射影多様体の定義において基本的である。

非零多項式は異なる次数の斉次多項式の和に一意的に分解できる。この分解における各斉次多項式を多項式の斉次成分 (homogeneous components) と呼ぶ。

(あるいはより一般にK 上の多項式環 R=K[x_1, \ldots,x_n] が与えられると、d 次斉次式全体は一般に R_d と記されるベクトル空間(あるいは加群)をなす。上記の一意的な分解は、RR_d たちの直和非負の整数すべてを渡る和)であることを意味する。

ベクトル空間(あるいは自由加群R_d の次元は n 変数の d 次単項式の個数である(つまり n 変数の d 次斉次多項式の非零項の最大個数である)。それは二項係数

\binom{d+n-1}{n-1}=\binom{d+n-1}{d}=\frac{(d+n-1)!}{d!(n-1)!}

に等しい。

斉次化[編集]

非斉次多項式 P(x1,...,xn) は新たな変数 x0 を導入し斉次多項式(hP と書かれることがある)を次のように定義することによって斉次化することができる:[5]

{^h\!P}(x_0,x_1,\dots, x_n) = x_0^d P \left (\frac{x_1}{x_0},\dots, \frac{x_n}{x_0} \right ),

ここで dP次数である。例えば、

P=x_3^3 + x_1 x_2+7

であれば、

^h\!P=x_3^3 + x_0 x_1x_2 + 7 x_0^3

である。

斉次化された多項式は追加された変数 x0 を 1 とおくことによって非同次化できる。つまり、

P(x_1,\dots, x_n)={^h\!P}(1,x_1,\dots, x_n).

一般の代数的形式[編集]

代数的形式、あるいは単に形式は、二次形式を任意の次数に一般化する。かつては quantics とも呼ばれた(ケイリーによる用語である)。形式のタイプを特定するには、次数 d と変数 n の個数を与えなければならない。形式がある与えられた K 上の形式であるとは、n を形式の変数の個数として、Kn から K への写像であることをいう。

ある体 K 上の n 変数の形式 f が 0 を表すとは、xi たちのうち少なくとも1つが0に等しくないような元 (x1, ..., xn) ∈ Kn が存在して f(x1,...,xn) = 0 となることをいう。

実数体上の二次形式が 0 を表すことと定符号でないことは同値である。

関連項目[編集]

参考文献[編集]

  1. ^ D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, 2nd ed., page 2. Springer-Verlag, 2005.
  2. ^ しかしながら、多項式と多項式から定まる写像を明確に区別しない著者もおり、斉次多項式形式が同義語として使われることもある。
  3. ^ 線型形式 (linear form) は有限次元ベクトル空間に対してのみ定義され、したがってすべてのベクトル空間に対して定義される線型汎関数 (linear functional) とは区別しなければならない。"線型汎関数"が有限次元ベクトル空間に対して使われることはまれである。
  4. ^ 物理学において斉次多項式はしばしば次元解析の結果として現れる。次元解析では、測られた量は現実世界の問題において合っていなければならない。
  5. ^ D. Cox, J. Little, D. O'Shea: Using Algebraic Geometry, 2nd ed., page 35. Springer-Verlag, 2005.