数学 において、多変数微分可能関数 のある与えられた点 x ベクトル v 方向微分 （ほうこうびぶん、英 : directional derivative ）とは、直感的には、v x 座標曲線（英語版 ） に沿った変化率を取るような、偏微分 の概念を一般化するものである。
方向微分は、ガトー微分 の特別な場合である。
定義 [ 編集] あるベクトル
v
=
(
v
1
,
…
,
v
n
)
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=(v_{1},\ldots ,v_{n})}
に沿った、スカラー関数
f
(
x
)
=
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {x}})=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
の方向微分は、極限
∇
v
f
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
v
)
−
f
(
x
)
h
{\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{f}({\boldsymbol {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}+h{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {x}})}{h}}}
として定義される関数 である[1]
関数 f が x 微分可能 であるなら、任意のベクトル v
∇
v
f
(
x
)
=
∇
f
(
x
)
⋅
v
{\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{f}({\boldsymbol {x}})=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {v}}}
が成立する。ここで、右辺の
∇
{\displaystyle \nabla }
勾配 を表し、
⋅
{\displaystyle \cdot }
ドット積 を表す[2] x f の方向微分は、直感的には、ある速度と、v
f
{\displaystyle f}
変化率 を表す。
何人かの研究者は、方向微分を正規化 を施した後のベクトル v
∇
v
f
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
v
)
−
f
(
x
)
h
|
v
|
{\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{f}({\boldsymbol {x}})=\lim _{h\rightarrow 0}{\frac {f({\boldsymbol {x}}+h{\boldsymbol {v}})-f({\boldsymbol {x}})}{h|{\boldsymbol {v}}|}}}
であるか、あるいは f が x
∇
v
f
(
x
)
=
∇
f
(
x
)
⋅
v
|
v
|
{\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{f}({\boldsymbol {x}})=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\frac {\boldsymbol {v}}{|{\boldsymbol {v}}|}}}
が成立する。この定義には、いくつかの不利な点がある：すなわち、その定義はベクトルのノルム が定義され、ゼロでない場合においてのみ適用されるということである。この定義は、物理学や工学など、数学と異なるいくつかの分野において用いられる概念とは相入れないものとなるが、単位距離ごとの f の増加率を知りたい場合には、用いられるべきものである。
表記法 [ 編集] 方向微分には、次のようないくつかの表記法がある：
∇
v
f
(
x
)
∼
∂
f
(
x
)
∂
v
∼
f
v
′
(
x
)
∼
D
v
f
(
x
)
∼
v
⋅
∇
f
(
x
)
{\displaystyle \nabla _{\boldsymbol {v}}{f}({\boldsymbol {x}})\sim {\frac {\partial {f({\boldsymbol {x}})}}{\partial {v}}}\sim f'_{\boldsymbol {v}}({\boldsymbol {x}})\sim D_{\boldsymbol {v}}f({\boldsymbol {x}})\sim {\boldsymbol {v}}\cdot {\nabla f({\boldsymbol {x}})}}
性質 [ 編集] 通常の微分 に対して成立する有名な性質の多くは、方向微分に対しても成立する。以下に述べる性質は、ある点 p において微分可能 であり、その点の近傍 において定義されるような任意の関数 f および g に対して、成立する：
和の法則（英語版 ）
∇
v
(
f
+
g
)
=
∇
v
f
+
∇
v
g
{\displaystyle \nabla _{v}(f+g)=\nabla _{v}f+\nabla _{v}g}
定数倍の法則（英語版 ） c に対し、
∇
v
(
c
f
)
=
c
∇
v
f
{\displaystyle \nabla _{v}(cf)=c\nabla _{v}f}
積の法則 ライプニッツの法則
∇
v
(
f
g
)
=
g
∇
v
f
+
f
∇
v
g
{\displaystyle \nabla _{v}(fg)=g\nabla _{v}f+f\nabla _{v}g}
連鎖律 g が点 p において微分可能であり、h が g (p ) において微分可能であるなら、
∇
v
h
∘
g
(
p
)
=
h
′
(
g
(
p
)
)
∇
v
g
(
p
)
{\displaystyle \nabla _{v}h\circ g(p)=h'(g(p))\nabla _{v}g(p)}
微分幾何学における方向微分 [ 編集] M を微分可能多様体 とし、p を M 内のある点とする。f を、点 p のある近傍において定義され、p において微分可能 なある関数とする。
v を点 p における M への接ベクトル とするとき、f の v に沿った方向微分 は、
∇
v
f
(
p
)
{\displaystyle \nabla _{v}f(p)}
共変微分 を参照）や
L
v
f
(
p
)
{\displaystyle L_{v}f(p)}
リー微分 を参照）、あるいは
v
p
(
f
)
{\displaystyle v_{p}(f)}
接ベクトル空間 を参照）など様々な方法で表記され、その定義は次のようになる：γ : [-1,1] → M を、γ (0) = p および γ ′(0) = v を満たすような微分可能な曲線とする。このとき、方向微分は
∇
v
f
(
p
)
=
d
d
τ
f
∘
γ
(
τ
)
|
τ
=
0
{\displaystyle \nabla _{v}f(p)=\left.{\frac {d}{d\tau }}f\circ \gamma (\tau )\right|_{\tau =0}}
と定義される。この定義は、γ ′(0) = v を満たすようなものとして γ が選ばれている限り、γ の選び方によらない。
法線微分 [ 編集] 法線微分 （normal derivative）とは、空間内のある曲面に対する法線方向（すなわち、直交 する方向）に関する、方向微分である。あるいはより一般的に、法線微分とは、ある超曲面 に直交する法線ベクトル場 に沿った方向微分である。例えばノイマン境界条件 を参照されたい。法線方向を
n
{\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
∂
f
/
∂
n
{\displaystyle \partial f/\partial n}
∂
f
∂
n
=
∇
f
(
x
)
⋅
n
=
∇
n
f
(
x
)
=
∂
f
∂
x
⋅
n
=
D
f
(
x
)
[
n
]
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {n}}=\nabla _{\boldsymbol {n}}{f}({\boldsymbol {x}})={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\cdot {\boldsymbol {n}}=Df({\boldsymbol {x}})[{\boldsymbol {n}}]}
とも表される。
固体の連続体力学において [ 編集] 連続体力学 におけるいくつかの重要な結果においては、ベクトルに関するベクトルの微分や、ベクトルやテンソル に関するテンソルの微分の概念が必要となる[3] 方向微分 は、そのような微分を見つける上での体系的な方法を提供するものである。
さまざまな状況に対する方向微分の定義を、以下に述べる。そこでの各関数は、微分が取れるように十分滑らかであるもののと仮定される。
スカラー値ベクトル関数の微分 [ 編集]
f
(
v
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {v}})}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
f
(
v
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {v}})}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
∂
f
∂
v
⋅
u
=
D
f
(
v
)
[
u
]
=
[
d
d
α
f
(
v
+
α
u
)
]
α
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=Df({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.}
性質 ：
f
(
v
)
=
f
1
(
v
)
+
f
2
(
v
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}({\boldsymbol {v}})+f_{2}({\boldsymbol {v}})}
∂
f
∂
v
⋅
u
=
(
∂
f
1
∂
v
+
∂
f
2
∂
v
)
⋅
u
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right)\cdot {\boldsymbol {u}}}
f
(
v
)
=
f
1
(
v
)
f
2
(
v
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}({\boldsymbol {v}})~f_{2}({\boldsymbol {v}})}
∂
f
∂
v
⋅
u
=
(
∂
f
1
∂
v
⋅
u
)
f
2
(
v
)
+
f
1
(
v
)
(
∂
f
2
∂
v
⋅
u
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {v}})+f_{1}({\boldsymbol {v}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)}
f
(
v
)
=
f
1
(
f
2
(
v
)
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {v}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {v}}))}
∂
f
∂
v
⋅
u
=
∂
f
1
∂
f
2
∂
f
2
∂
v
⋅
u
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}}
ベクトル値ベクトル関数の微分 [ 編集]
f
(
v
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
u
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}}
f
(
v
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
v
{\displaystyle {\boldsymbol {v}}}
ベクトル で定義される：
∂
f
∂
v
⋅
u
=
D
f
(
v
)
[
u
]
=
[
d
d
α
f
(
v
+
α
u
)
]
α
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=D{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.}
性質 ：
f
(
v
)
=
f
1
(
v
)
+
f
2
(
v
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {f}}_{1}({\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {f}}_{2}({\boldsymbol {v}})}
∂
f
∂
v
⋅
u
=
(
∂
f
1
∂
v
+
∂
f
2
∂
v
)
⋅
u
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\right)\cdot {\boldsymbol {u}}}
f
(
v
)
=
f
1
(
v
)
×
f
2
(
v
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {f}}_{1}({\boldsymbol {v}})\times {\boldsymbol {f}}_{2}({\boldsymbol {v}})}
∂
f
∂
v
⋅
u
=
(
∂
f
1
∂
v
⋅
u
)
×
f
2
(
v
)
+
f
1
(
v
)
×
(
∂
f
2
∂
v
⋅
u
)
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)\times {\boldsymbol {f}}_{2}({\boldsymbol {v}})+{\boldsymbol {f}}_{1}({\boldsymbol {v}})\times \left({\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)}
f
(
v
)
=
f
1
(
f
2
(
v
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})={\boldsymbol {f}}_{1}({\boldsymbol {f}}_{2}({\boldsymbol {v}}))}
∂
f
∂
v
⋅
u
=
∂
f
1
∂
f
2
⋅
(
∂
f
2
∂
v
⋅
u
)
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}={\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {f}}_{2}}}\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {f}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}\right)}
スカラー値の二階テンソル関数の微分 [ 編集]
f
(
S
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
f
(
S
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {S}})}
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
二階テンソル で定義される：
∂
f
∂
S
:
T
=
D
f
(
S
)
[
T
]
=
[
d
d
α
f
(
S
+
α
T
)
]
α
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}.}
性質 ：
f
(
S
)
=
f
1
(
S
)
+
f
2
(
S
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})+f_{2}({\boldsymbol {S}})}
∂
f
∂
S
:
T
=
(
∂
f
1
∂
S
+
∂
f
2
∂
S
)
:
T
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
f
(
S
)
=
f
1
(
S
)
f
2
(
S
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {S}})~f_{2}({\boldsymbol {S}})}
∂
f
∂
S
:
T
=
(
∂
f
1
∂
S
:
T
)
f
2
(
S
)
+
f
1
(
S
)
(
∂
f
2
∂
S
:
T
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)~f_{2}({\boldsymbol {S}})+f_{1}({\boldsymbol {S}})~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
f
(
S
)
=
f
1
(
f
2
(
S
)
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}(f_{2}({\boldsymbol {S}}))}
∂
f
∂
S
:
T
=
∂
f
1
∂
f
2
(
∂
f
2
∂
S
:
T
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial f_{2}}}~\left({\frac {\partial f_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
テンソル値の二階テンソル関数の微分 [ 編集]
F
(
S
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
T
{\displaystyle {\boldsymbol {T}}}
F
(
S
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})}
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
S
{\displaystyle {\boldsymbol {S}}}
四階テンソル で定義される：
∂
F
∂
S
:
T
=
D
F
(
S
)
[
T
]
=
[
d
d
α
F
(
S
+
α
T
)
]
α
=
0
.
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{\alpha =0}.}
性質 ：
F
(
S
)
=
F
1
(
S
)
+
F
2
(
S
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}
∂
F
∂
S
:
T
=
(
∂
F
1
∂
S
+
∂
F
2
∂
S
)
:
T
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}+{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}\right):{\boldsymbol {T}}}
F
(
S
)
=
F
1
(
S
)
⋅
F
2
(
S
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})}
∂
F
∂
S
:
T
=
(
∂
F
1
∂
S
:
T
)
⋅
F
2
(
S
)
+
F
1
(
S
)
⋅
(
∂
F
2
∂
S
:
T
)
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)\cdot {\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}})+{\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {S}})\cdot \left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
F
(
S
)
=
F
1
(
F
2
(
S
)
)
{\displaystyle {\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})={\boldsymbol {F}}_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}
∂
F
∂
S
:
T
=
∂
F
1
∂
F
2
:
(
∂
F
2
∂
S
:
T
)
{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
f
(
S
)
=
f
1
(
F
2
(
S
)
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {S}})=f_{1}({\boldsymbol {F}}_{2}({\boldsymbol {S}}))}
∂
f
∂
S
:
T
=
∂
f
1
∂
F
2
:
(
∂
F
2
∂
S
:
T
)
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}={\frac {\partial f_{1}}{\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}}:\left({\frac {\partial {\boldsymbol {F}}_{2}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}\right)}
関連項目 [ 編集] 注釈 [ 編集]
^ R. Wrede, M.R. Spiegel (2010). Advanced Calculus (3rd edition ed.). Schaum's Outline Series. ISBN 978-0-07-162366-7 ^ 技術的に言うと、勾配 ∇f は余ベクトル であり、ドット積はベクトル v 上のこの余ベクトルの動きである。
^ J. E. Marsden and T. J. R. Hughes, 2000, Mathematical Foundations of Elasticity , Dover.
参考文献 [ 編集] Hildebrand, F. B. (1976). Advanced Calculus for Applications . Prentice Hall . ISBN 0-13-011189-9 K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence (2010). Mathematical methods for physics and engineering . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-86153-3 外部リンク [ 編集] 
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}=\nabla f({\boldsymbol {x}})\cdot {\boldsymbol {n}}=\nabla _{\boldsymbol {n}}{f}({\boldsymbol {x}})={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {x}}}}\cdot {\boldsymbol {n}}=Df({\boldsymbol {x}})[{\boldsymbol {n}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3287bf69bbd02201ec651b931c2ef5f0736fce02)
![{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=Df({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4f58bd4b0ea75d2671b8b1e2602eef4532ad534)
![{\displaystyle {\frac {\partial {\boldsymbol {f}}}{\partial {\boldsymbol {v}}}}\cdot {\boldsymbol {u}}=D{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}})[{\boldsymbol {u}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {f}}({\boldsymbol {v}}+\alpha ~{\boldsymbol {u}})\right]_{\alpha =0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/972250e07b631f2410eccb5dc826af1dd1104232)
![{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=Df({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~f({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{{\alpha =0}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b53f42e30c3ffdc892b73c9e8948aaf80861a547)
![{\frac {\partial {\boldsymbol {F}}}{\partial {\boldsymbol {S}}}}:{\boldsymbol {T}}=D{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}})[{\boldsymbol {T}}]=\left[{\frac {d}{d\alpha }}~{\boldsymbol {F}}({\boldsymbol {S}}+\alpha ~{\boldsymbol {T}})\right]_{{\alpha =0}}.](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb86052f13261854659b8d6312481399762517b4)
