最大と最小

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数学、特に順序論英語版において、半順序集合部分集合 S最大元(さいだいげん、英語: greatest element)とは、S の全てのの中で最も大きいものである。また、半順序集合の部分集合 S最小元(さいしょうげん、英語: least element, smallest element)とは、S の全ての元の中で最も小さいものである。最大元(resp. 最小元)は最小元(resp. 最大元)の双対概念英語版である[1]

厳密な定義[編集]

正式には次のように定義される。(P, ≦) を 1 つの半順序集合とし、SP の 1 つの部分集合とする。そのとき、次の条件

S の任意の元 s に対して、sg

を満たす S の元 gS最大元という。また、次の条件

S の任意の元 s に対して、gs

を満たす S の元 gS最小元という。定義より、S の最大元(resp. 最小元)は S の 1 つの上界英語版(resp. 下界)である[1]。また、S の最大元(resp. 最小元)が存在するならば、それはただ 1 つだけ存在する[1]

上界と同様に、最大元は必ずしも存在しない[1]。たとえある集合が上界や上限英語版を持っていたとしても、その集合が最大元も持つとは限らない[1]。例えば、実数全体の集合 R において、負の実数全体の集合は無数の上界と上限 0 を持つが、最大元を持たない。最小元と下界と下限とについても同様である[1]。有限全順序集合のでない部分集合は常に最大元と最小元とを持つ。
最大元を極大元英語版と混同してはならない。たとえある集合が極大元を持っていたとしても、その集合が最大元も持つとは限らない[1]。しかしながら、もしも最大元が存在するならば、それは唯一の極大元である[1]。最小元と極小元とについても同様である[1]

半順序集合 S 自身の最小元と最大元とを、それぞれ bottomtop あるいは zero0) と unit1) ということもある。また、その最小元と最大元とを、それぞれ記号 とで表すこともある。半順序集合自身の最小元と最大元とが存在する場合、その半順序集合を bounded poset という。半順序集合が可補束であるとき、記号 01 とが好んで使われる。

全順序に関する最大元・最小元[編集]

全順序集合においては、極大元は必ず最大元であり、それを maximum[注 1] とも呼ぶ。同様に極小元は最小元であり minimum[注 1] と呼び、最大元と最小元をまとめて extremum[注 1] と呼ぶ。[2]

また、特に確率論などにおいては実数 a, bR の最大値と最小値({a, b} ⊂ R の最大元と最小元)をそれぞれ

のように表記することがある[3]

実数値関数(の英語版)に関する文脈では—順序論と解析学とで用語法がややバッティングするので—注意が必要である[2]。適当な点の近傍における函数の値の集合(これは全順序集合 R の部分集合でそれ自体が全順序集合)においても上で述べた通り極大元と最大元は一致するが、それは極大値 (maximal, maximal value) と呼ばれる[注 2]。単に最大値 (maximum, maximum value) という場合には、それは函数の値域(取りうるすべての値からなる集合)の最大元を指すものである。絶対的最大値 (absolute maximum) や 全域的最大値 (global maximum)[4] と呼び、対して極大値のことを局所的最大値 (local maximum)[5] または相対的最大値 (relative maximum) と呼んで明確に区別することもある。最小値(と極小値)に関しても同様、またこの場合の最大値と最小値の総称として、絶対的極値 (absolute extremum) や全域的極値 (global extremum) などを使うこともできる[6]が、ふつう日本語で単に極値と言えば局所的の意味である[注 3]。より詳細は極値の項に譲る。
また、函数の定義域における最大元・最小元のことは、しばしば端点 (end point) や限界 (limit) と言う。定義域の元を「点」と呼び値域の元を「値」と呼んで区別する慣習を踏襲して、函数が最大値をとる点を最大点や最大値点 (maximum point) などと呼ぶことができる(最小値あるいは極値についても同様)[8]

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  • R において、整数全体の集合 Z は上界を持たない。
  • 有理数全体の集合 Q において、S = { xQ | x < 2 } は無数の上界を持つが、上限も最大元も持たない。
  • R において、1 より小さい実数全体の集合は上限 1 を持つが、最大元を持たない。
  • R において、1 以下の実数全体の集合は最大元 1 を持つ。そしてその最大元は上限でもある。
  • S = { (x, y) ∈ R×R | 0 < x < 1 } とすれば、SR×R の部分集合である。R×R直積順序を導入するとき、S は上界を持たない。一方で、R×R辞書式順序を導入するとき、S は上界を持ち(例えば、(1, 0) ∈ R×R)、上限を持たない。

その他[編集]

  • 統計学において、数値データを昇順にソートしたとき、最初の値を最小値、最後の値を最大値と呼ぶ[9]

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注釈[編集]

  1. ^ a b c 単数形が "-um", 複数形は "-a"
  2. ^ これと極大元とを混同すべきではない。極小元と極小値についてもそう。
  3. ^ 極値 (extremal value) を最大値・最小値あるいは極大値・極小値の総称として用いるものもある。[6][7]

出典[編集]

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  1. ^ a b c d e f g h i 松坂 1968, pp. 90-97.
  2. ^ a b extremum: 1. Idea. in nLab
  3. ^ Billingsley, P. (2012). Probability and Measure (Anniversary ed.). Wiley. p. 572. ISBN 978-1-118-12237-2. 
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Global Maximum". MathWorld(英語). 
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Local Maximum". MathWorld(英語). 
  6. ^ a b Weisstein, Eric W. "Extremum". MathWorld(英語). , extremum - PlanetMath.(英語), extremum, 2. Local extrema of differentiable functions in nLab
  7. ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Maximum and minimum of a function", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  8. ^ Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Maximum and minimum points", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4 
  9. ^ 西岡 2013, p. 8 「1.4 度数分布」

参考文献[編集]

  • 西岡康夫 『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』 オーム社、2013年ISBN 9784274214073。 
  • 松坂和夫 『集合・位相入門』 岩波書店、1968年ISBN 4-00-005424-4。 

関連項目[編集]