中心化群と正規化群

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数学、とくに群論において、 G部分集合 S中心化群 (: centralizer) とは、S の各元と可換な G の元全体からなる集合であり、S正規化群 (normalizer) とは、「全体で」S と可換な G の元全体からなる集合である。S の中心化群と正規化群は G部分群であり、G の構造について知る手掛かりを得られる。

定義[編集]

G の部分集合 S中心化群 (centralizer) は次で定義される[1]

\mathrm{C}_G(S)=\{g\in G\mid sg=gs \text{ for all } s\in S\}

文脈から群 G が明らかなときには、表記 CG(S) から G を省くことがある。また S単集合 {a} のときには中心化群 CG({a})CG(a) と略記される。この中心化群の別の表記として Z(a) もあるが、これはあまり一般的でなく、群の中心の表記と同じになってしまう。この表記では、群 G の中心 Z(G) と元 gG中心化群 Z(g) とを混同しないよう注意しなければならない。

G における S正規化群 (normalizer) は次で定義される。

\mathrm{N}_G(S)=\{ g \in G \mid gS=Sg \}

中心化群の定義と似ているが同じではない。gS の中心化群の元で sS の元であれば、gs = sg でなければならないが、g が正規化群の元であれば、s とは異なってもよい tS に対して gs = tg である。中心化群のときに述べた、G を省いたり単集合のときにブレース(中括弧)を省いたりする記法は、正規化群の表記に対しても同じく適用される。S の正規化群を S正規包英語版 (normal closure) すなわち、S の生成する正規部分群 〈〈S〉〉 と混同してはならない。

性質[編集]

下記の性質は Isaacs 2009, Chapters 1−3 による。

  • S の中心化群と正規化群はともに G の部分群である。
  • 明らかに、CG(S) ⊆ NG(S) である。実は、CG(S) は必ず NG(S) の正規部分群である。
  • CG(CG(S))S を含むが、CG(S)S を含むとは限らない。S のすべての元 s, t に対して st = ts であれば含む。なのでもちろん HG の可換な部分群であれば CG(H)H を含む。
  • SG の部分半群であれば、NG(S)S を含む。
  • HG の部分群であれば、H正規部分群として含むような最大の G の部分群が NG(H) である。
  • aG の属する共役類の大きさと中心化群の指数 [G : CG(a)] は等しい。
  • G の部分群 H と共役な部分群の数と正規化群の指数 [G : NG(H)] は等しい。
  • G の部分群 H は、NG(H) = H であるときに、G の自己正規化部分群 (self-normalizing subgroup) と呼ばれる。
  • G の中心はちょうど CG(G) であり、Gアーベル群であることと CG(G) = Z(G) = G は同値である。
  • 単集合に対して、CG(a) = NG(a) である。
  • 対称性により、STG の 2 つの部分集合であれば、T ⊆ CG(S)S ⊆ CG(T) は同値である。
  • G の部分群 H に対して、N/C定理 (N/C theorem) は、剰余群 NG(H)/CG(H)H自己同型群 Aut(H) の部分群に同型であるという定理である。NG(G) = G および CG(G) = Z(G) であるから、N/C theorem は、G/Z(G) は、G のすべての内部自己同型からなる、Aut(G) の部分群 Inn(G) に同型であるということも意味している。
  • 群準同型 T: G → Inn(G)T(x)(g) = Tx(g) = xgx −1 によって定義すれば、NG(S)CG(S)Inn(G)G への群作用の言葉によって記述できる: SInn(G) における安定化群は T(NG(S)) であり、S を固定する Inn(G) の部分群は T(CG(S)) である。

脚注[編集]

  1. ^ Jacobson (2009), p. 41

参考文献[編集]

  • Isaacs, I. Martin (2009), Algebra: A Graduate Course, Graduate Studies in Mathematics, 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR2472787, //books.google.com/books?id=5tKq0kbHuc4C&pg=PA41 
  • Jacobson, Nathan (2009), Basic Algebra, I (second ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1, //books.google.com/books?id=JHFpv0tKiBAC 

関連項目[編集]