漸近展開

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漸近展開(ぜんきんてんかい、: Asymptotic expansion)とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学 (例えば複素解析[1]特殊関数に対する数値解析[2]など) では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある[3]

漸近級数[編集]

関数 を定義域が実数の領域で定義された関数とし[4] の定義域内の点とする。

関数列 が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。

実数列 が存在して、任意の正整数 n に対し

が成立するとき、

漸近級数といい、

と表す。

さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という[5]

  • 任意の正整数 n の定義域内の x に対して
が成立する。

漸近関数列が または の形の漸近級数を、漸近冪級数という。

与えられた漸近関数列を用いて、 の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 の漸近級数 が存在する場合、 は漸近展開

を持つという。

性質[編集]

一意性[編集]

任意の関数 に対して、 に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば

しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯1つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。

さらに、漸近級数の各係数は

で与えられる。

和と積[編集]

の近傍で定義された関数 は、漸近関数列 に対する漸近展開

を持つとする。このとき、任意の α、β に対して

が成立する。

さらに、漸近関数列が である場合、

が成立する。

項別微分[編集]

一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。

漸近関数列 は各 n に対して、 の近傍で微分可能であり、関数列 が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。

は、 の近傍で微分可能であり、

となる漸近展開を持ち、 が漸近関数列 を用いて漸近展開することができるのであれば

が成立する。

項別積分[編集]

とし、 の漸近展開を

とする。定積分

が各 n に対して存在するならば、

が存在して、

が成立する。

のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数

を持つ場合、

とする必要がある。

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スターリングの公式の一般化[編集]

ガンマ関数

という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている[6]

合流型超幾何関数[編集]

合流型超幾何関数 (en:confluent hypergeometric function):

は次の漸近展開を持つ[7][8][9]

複素数の偏角であり、ポッホハマー記号[10]である。

誤差関数[編集]

誤差関数

は、以下の様な漸近展開を持つ[11]

指数積分[編集]

指数積分

の漸近展開は、

で与えられる。

ラプラス変換[編集]

を何回でも微分可能な関数としたとき、ラプラス変換

の漸近展開は、

で与えられる。

微分方程式の解[編集]

微分方程式

の解は

で与えられ、

という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の で収束しないが[12]、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。

求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。

調和級数[編集]

調和級数

という漸近展開を持つ[13]。ここで、オイラー・マスケローニ定数ベルヌーイ数である。

注釈[編集]

  1. ^ Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
  2. ^ Gil, A., Segura, J., & Temme, N. M. (2007). Numerical methods for special functions. en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
  3. ^ 伏見 p. 22
  4. ^ 漸近展開は複素数の領域にも拡張することができるが、ここでは定義や結果等を簡単にするため、実数の領域に限定する。
  5. ^ 伏見 p. 27
  6. ^ 伏見 p. 24
  7. ^ 犬井鉄郎. 特殊関数. 岩波書店.
  8. ^ 時弘哲治. 工学における特殊関数. 共立出版.
  9. ^ functions.wolfram.com
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/PochhammerSymbol.html
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Erf." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Erf.html
  12. ^ x に対して、最初の数項(項数は x に依存する)までの和を取れば、積分表示された解のいい近似を与える。
  13. ^ Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/HarmonicNumber.html

参考文献[編集]

和書[編集]

  • 大久保, 謙二郎、河野, 實彦『漸近展開』教育出版〈シリーズ新しい応用の数学〉、東京、1976年。ISBN 4316376306。
  • ハイラー, E.、ワナー, G.『解析教程』上、蟹江幸博訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997a。ISBN 4431707506。
  • ハイラー, E.、ワナー, G.『解析教程』下、蟹江幸博訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997b。ISBN 4431707514。
  • 柴田, 正和『漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法』森北出版、東京、2009年。ISBN 9784627076310。
  • 伏見康治「確率論及統計論」第I章 数学的補助手段 3節 漸近展開 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204

洋書[編集]

  • Bleistein, N., & Handelsman, R. A. (1986). Asymptotic expansions of integrals. Courier Corporation.
  • Bender, C. M., & Orszag, S. A. (2013). Advanced mathematical methods for scientists and engineers I: Asymptotic methods and perturbation theory. en:Springer Science & Business Media.
  • Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. en:Cambridge University Press.
  • Carrier, G. F., Krook, M., & Pearson, C. E. (2005). Functions of a complex variable: Theory and technique . en:Society for Industrial and Applied Mathematics.
  • Erdélyi, A. (1956). Asymptotic expansions. Courier Corporation.
  • Olver, F. (1997). Asymptotics and special functions. AK Peters/CRC Press.
  • Dingle, R. B. (1973). Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. London: en:Academic Press.

関連項目[編集]