中心 (代数学)

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数学の分野である代数学において、多元環などの中心 (: center, : Zentrum) は考えている構造の部分集合であって、乗法に関してすべての元と交換する元全体からなる。

群の中心[編集]

G を群とすると、その中心は集合

\mathrm Z(G):=\{z \in G \mid \forall g \in G : gz=zg\}

である。

性質[編集]

G の中心は部分群である。なぜならば、xyZ(G) の元とすると、任意の g\in G に対して、

(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy)

なので、xy を中心に入る。同様にして、x^{-1} も中心に入る。

x^{-1}g = (g^{-1}x)^{-1} = (xg^{-1})^{-1} = gx^{-1}.

群の単位元 e は常に中心に入る。eg = g = ge.

中心はアーベル群G正規部分群である。G特性部分群でもある、つまりすべての自己同型で不変である。中心は強特性 (strictly characteristic) でさえある、つまりすべての全射自己準同型で不変である。G がアーベル群であることと Z(G) = G は同値である。

中心はちょうど、z による共役、すなわち \left(g \mapsto z^{-1}gz\right) が恒等写像であるような、G の元 z からなる。したがって中心を中心化群の特別な場合としても定義できる。C_G(G)=Z(G) である。

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  • 3次対称群英語版 S_3 = \left\{\mathrm{id}, (1\;2), (1\;3), (2\;3), (1\;2\;3), (1\;3\;2)\right\} の中心は単位元 \mathrm{id} のみからなる、なぜならば:
 (1\;2)(1\;3) = (1\;3\;2) \neq (1\;3)(1\;2) = (1\;2\;3)
 (1\;2)(2\;3) = (1\;2\;3) \neq (2\;3)(1\;2) = (1\;3\;2)
 (1\;2\;3)(1\;2) = (1\;3) \neq (1\;2)(1\;2\;3) = (2\;3)
 (1\;3\;2)(1\;2) = (2\;3) \neq (1\;2)(1\;3\;2) = (1\;3)
  • 二面体群 D_4 は正方形が全く動かないような平面の動きからなる。それは正方形の中心を中心とする角度 0°, 90°, 180°, 270°の回転と、2つの対角線および正方形の平行する辺の中点を通る2つの直線による4つの鏡映からなる。この群の中心はちょうど 0°と 180°の2つの回転からなる。
  • 実数を成分に持つ可逆 n×n-行列の乗法群の中心は単位行列の(0 でない)実数倍からなる。

環の中心[編集]

R中心は環の元であってすべての元と交換するものからなる。

\mathrm Z(R)=\{z\in R\mid za=az\ \text{for all}\ a\in R\}.

中心 Z(R)R可換部分環である。環が中心と等しいことと可換であることは同値である。

結合多元環の中心[編集]

結合多元環 A中心は可換な部分多元環

\mathrm Z(A)=\{z\in A\mid za=az\ \mathrm{for\ all}\ a\in A\}

である。多元環がその中心と等しいことと可換であることは同値である。

リー代数の中心[編集]

定義[編集]

リー代数 \mathfrak g中心は(可換な)イデアル

\mathfrak z(\mathfrak g)=\{Z\in \mathfrak g\mid[X,Z]=0\ \mathrm{for\ all}\ X\in\mathfrak g\}

である。ただし [\cdot,\cdot] はブラケット積、つまり \mathfrak g の積を表す。リー代数がその中心に等しいことと可換であることは同値である。

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Z\left( \mathrm{GL}  (n,K) \right) = \{ \lambda E_n\colon \lambda \in K^{*} \}.

参考文献[編集]

  • Kurt Meyberg: Algebra - Teil 1. Hanser 1980, ISBN 3-446-13079-9, S. 36